Um sistema massa-mola sofre uma força de resistência de amortecimento ligado à taxa de dissipação de energia do sistema e
é a velocidade.
a) Escreva a equação diferencial para esse sistema identificando cada um dos termos envolvidos;
b) Mostre que a solução geral para esse sistema é dada por
, sendo
uma constante,
e
um ângulo de fase;
c) Para tal sistema suponha
e
para determinar
e v ;
d) Faça um gráfico da solução
versus
.
a) Escreva a equação diferencial para esse sistema identificando cada um dos termos envolvidos;
b) Mostre que a solução geral para esse sistema é dada por
c) Para tal sistema suponha
d) Faça um gráfico da solução
Passo 1
O problema pede quatro coisas separadas:
- (a) Escrever a equação diferencial do sistema massa-mola com força de resistência proporcional à velocidade e identificar cada termo.
- (b) Mostrar que a solução geral é
com constantes e dadas (ou seja, deduzir essa forma a partir da equação). - (c) Para
, e determinar , e (velocidade). - (d) Fazer um gráfico de
versus .
Informações fornecidas no enunciado:
- A força de amortecimento é proporcional à velocidade
; a constante de proporcionalidade dada é . - Massa
, constante da mola e coeficiente de amortecimento aparecem como dados. - O enunciado fornece uma forma da solução envolvendo
e ; atenção: ao derivar a solução veremos que a definição compatível com a equação é (vou explicar isso detalhadamente abaixo).
Nenhuma condição inicial foi dada, portanto a solução ficará com constantes arbitrárias
e
.
Passo 2
(a) Escrever a equação diferencial e identificar termos.
Começamos pelo balanço de forças (soma das forças = massa × aceleração). Tomando a posição da massa como
, as forças atuantes são:
- força elástica da mola (restauradora):
(sinal negativo porque aponta para o equilíbrio), - força de amortecimento proporcional à velocidade:
(novamente negativo quando a velocidade tende a aumentar afastando do equilíbrio), - força inercial:
.
Portanto a equação diferencial é
Explicação dos termos:
-
: termo de inércia (a massa vezes a aceleração). -
: termo de amortecimento; tem unidade e mede a intensidade do atrito viscoso proporcional à velocidade. -
: termo restaurador (constante da mola em ).
Para facilitar a solução dividimos por
e definimos
obtendo a forma normalizada
Passo 3
(b) Resolver a equação diferencial — método e atenção a
.
Método: equação linear homogênea com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor solução exponencial
e resolver a equação característica para
.
A equação característica (após dividir por
) é
Aplicando a fórmula quadrática,
Agora é conveniente reescrever em termos de quantidades físicas usuais. Definimos a frequência natural sem amortecimento
E definimos a taxa de decaimento (o termo que aparece como coeficiente do exponencial). Para que a solução complexa seja escrita na forma
precisamos que as raízes sejam
Comparando a forma da fórmula com essa forma complexa vemos que o coeficiente na frente de
na equação característica é
. Logo a definição compatível é
Observação importante (sobre a notação do enunciado): o enunciado citou
, mas ao fazer a derivação algébrica a definição correta para obter
é
. Vou seguir essa definição correta, porque é a que torna a derivação consistente. (É provável que o enunciado tenha omitido o “2”.)
Com
reescrevemos as raízes:
No caso subamortecido (quando
) a raiz é complexa com parte imaginária
definida por
Assim para
(caso subamortecido) as raízes são
.
Passo 4
(b) Construir a solução real a partir das raízes complexas — transformar em amplitude e fase.
A solução geral a partir das raízes complexas é
onde
são constantes determinadas por condições iniciais (não fornecidas aqui).
Agora combinamos
e
numa amplitude e fase: existe
e
tais que
Substituindo obtemos a forma
Interpretação das constantes:
-
é a amplitude inicial (quando ajustado adequadamente). -
é a fase inicial. -
controla a taxa exponencial de decaimento da amplitude (envelope ). -
é a frequência angular das oscilações sob-amortecidas.
Fórmulas de conversão úteis (se precisar relacionar
com
):
Resumo: mostrando a forma pedida, com a correção que
e
.
Passo 5
(c) Aplicar os valores numéricos
,
,
.
Primeiro calculemos as quantidades intermediárias:
- Frequência natural sem amortecimento:
- Taxa de decaimento (usando a definição correta):
- Frequência amortecida:
- Período da oscilação amortecida:
Observação sobre o regime: como
, o sistema é subamortecido (oscila e a amplitude decai exponencialmente).
Agora a velocidade
. Diferenciando
obtemos, usando regra do produto e cadeia,
Podemos escrever de forma compacta:
Substituindo numericamente
e
obtemos
Sem condições iniciais não podemos dar um valor numérico único para
, mas essa é a expressão geral. Se quiser um exemplo concreto podemos escolher
,
e obter
e
Passo 6
(d) Gráfico de
versus
.
Instruções práticas para traçar o gráfico: escolha valores para
e
(sem condições iniciais usarei como exemplo
,
). Plote a função
num intervalo adequado, por exemplo
s, conectando pontos com uma curva suave. Também é útil plotar as curvas envelope
para visualizar a amplitude decrescente.
Abaixo dou uma tabela de pontos (exemplo com
e
) para
em passos de
até
. Esses pontos podem ser ligados para formar o gráfico.
Tabela exemplo
:
Comentário de visualização: o gráfico mostra oscilações com frequência angular
(período
) e amplitude decaindo com envelope
. Se preferir fazer o gráfico num computador, um comando rápido em Python (matplotlib) ou num app gráfico com a expressão acima plota perfeitamente.
Resposta
(a)
. Termos:
(inércia),
(amortecimento visc. proporcional à velocidade),
(força restauradora da mola).\n
(b) com
. (A forma vem das raízes
da equação característica.)\n
(c) Para ,
,
:
A velocidade é
, que numericamente (substituindo
) fica
\n
(d) Exemplo de gráfico (caso ): plotar
. Tabela de pontos (alguns valores):
,
,
,
,
,
,
,
,
. (Ligue esses pontos e desenhe também os envelopes
.)
(b)
(c) Para
(d) Exemplo de gráfico (caso