Um sistema massa-mola sofre uma força de resistência de amortecimento ligado à taxa de dissipação de energia do sistema e v é a velocidade.
a) Escreva a equação diferencial para esse sistema identificando cada um dos termos envolvidos;
b) Mostre que a solução geral para esse sistema é dada por x(t)=A e^{-\gamma t} \cos (\omega t-\delta), sendo \gamma=(\alpha / m) uma constante, \omega=\left(\omega_{0}{ }^{2}-\gamma^{2}\right)^{1 / 2} e \delta um ângulo de fase;
c) Para tal sistema suponha \mathrm{m}=1,0 \mathrm{~kg}, \mathrm{k}=16 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \alpha=4,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} para determinar \omega, \mathrm{T} e v ;
d) Faça um gráfico da solução x(\mathrm{t}) versus t.

Passo 1

O problema pede quatro coisas separadas:
  • (a) Escrever a equação diferencial do sistema massa-mola com força de resistência proporcional à velocidade e identificar cada termo.
  • (b) Mostrar que a solução geral é x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t-\delta) com constantes \gamma e \omega dadas (ou seja, deduzir essa forma a partir da equação).
  • (c) Para m=1{,}0\\ \mathrm{kg}, k=16\\ \mathrm{N/m} e \alpha=4{,}0\\ \mathrm{kg/s} determinar \omega, T e v (velocidade).
  • (d) Fazer um gráfico de x(t) versus t.
Informações fornecidas no enunciado:
  • A força de amortecimento é proporcional à velocidade v=\dot x; a constante de proporcionalidade dada é \alpha.
  • Massa m, constante da mola k e coeficiente de amortecimento \alpha aparecem como dados.
  • O enunciado fornece uma forma da solução envolvendo \gamma e \omega; atenção: ao derivar a solução veremos que a definição compatível com a equação é \gamma=\dfrac{\alpha}{2m} (vou explicar isso detalhadamente abaixo).
Nenhuma condição inicial foi dada, portanto a solução ficará com constantes arbitrárias A e \delta.

Passo 2

(a) Escrever a equação diferencial e identificar termos.
Começamos pelo balanço de forças (soma das forças = massa × aceleração). Tomando a posição da massa como x(t), as forças atuantes são:
  • força elástica da mola (restauradora): -k x(t) (sinal negativo porque aponta para o equilíbrio),
  • força de amortecimento proporcional à velocidade: -\alpha \dot x(t) (novamente negativo quando a velocidade tende a aumentar afastando do equilíbrio),
  • força inercial: m\ddot x(t).
Portanto a equação diferencial é
m\ddot x + \alpha \dot x + k x = 0.
Explicação dos termos:
  • m\ddot x: termo de inércia (a massa vezes a aceleração).
  • \alpha \dot x: termo de amortecimento; \alpha tem unidade \mathrm{kg/s} e mede a intensidade do atrito viscoso proporcional à velocidade.
  • k x: termo restaurador (constante da mola k em \mathrm{N/m}).
Para facilitar a solução dividimos por m e definimos
\omega_0^2=\frac{k}{m},
obtendo a forma normalizada
\ddot x + \frac{\alpha}{m}\dot x + \frac{k}{m}x = 0.

Passo 3

(b) Resolver a equação diferencial — método e atenção a \gamma.
Método: equação linear homogênea com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor solução exponencial x(t)=e^{r t} e resolver a equação característica para r.
A equação característica (após dividir por m) é
r^2 + \frac{\alpha}{m} r + \frac{k}{m} = 0.
Aplicando a fórmula quadrática,
r = \frac{-\frac{\alpha}{m} \pm \sqrt{\left(\frac{\alpha}{m}\right)^{2} - 4\frac{k}{m}}}{2}.
Agora é conveniente reescrever em termos de quantidades físicas usuais. Definimos a frequência natural sem amortecimento
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
E definimos a taxa de decaimento (o termo que aparece como coeficiente do exponencial). Para que a solução complexa seja escrita na forma e^{-\gamma t}\cos(\omega t-\delta) precisamos que as raízes sejam
r = -\gamma \pm i\omega.
Comparando a forma da fórmula com essa forma complexa vemos que o coeficiente na frente de r na equação característica é 2\gamma. Logo a definição compatível é
\gamma = \frac{\alpha}{2m}.
Observação importante (sobre a notação do enunciado): o enunciado citou \gamma=(\alpha/m), mas ao fazer a derivação algébrica a definição correta para obter r=-\gamma\pm i\omega é \gamma=\dfrac{\alpha}{2m}. Vou seguir essa definição correta, porque é a que torna a derivação consistente. (É provável que o enunciado tenha omitido o “2”.)
Com \gamma=\dfrac{\alpha}{2m} reescrevemos as raízes:
r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}.
No caso subamortecido (quando \gamma^2<\omega_0^2) a raiz é complexa com parte imaginária \omega definida por
\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.
Assim para \gamma^2<\omega_0^2 (caso subamortecido) as raízes são r=-\gamma\pm i\omega.

Passo 4

(b) Construir a solução real a partir das raízes complexas — transformar em amplitude e fase.
A solução geral a partir das raízes complexas é
x(t)=e^{-\gamma t}\left(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\right),
onde C_1,C_2 são constantes determinadas por condições iniciais (não fornecidas aqui).
Agora combinamos C_1 e C_2 numa amplitude e fase: existe A\ge0 e \delta tais que
C_1 = A\cos\delta,\qquad C_2 = A\sin\delta.
Substituindo obtemos a forma
x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t-\delta).
Interpretação das constantes:
  • A é a amplitude inicial (quando \delta ajustado adequadamente).
  • \delta é a fase inicial.
  • \gamma controla a taxa exponencial de decaimento da amplitude (envelope Ae^{-\gamma t}).
  • \omega é a frequência angular das oscilações sob-amortecidas.
Fórmulas de conversão úteis (se precisar relacionar C_1,C_2 com A,\delta):
A=\sqrt{C_1^2+C_2^2},\qquad \delta=\operatorname{atan2}(C_2,C_1).
Resumo: mostrando a forma pedida, com a correção que \gamma=\dfrac{\alpha}{2m} e \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.

Passo 5

(c) Aplicar os valores numéricos m=1{,}0\\ \mathrm{kg}, k=16\\ \mathrm{N/m}, \alpha=4{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
Primeiro calculemos as quantidades intermediárias:
  • Frequência natural sem amortecimento:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{16}{1}}=4\\ \text{rad/s}.
  • Taxa de decaimento (usando a definição correta):
\gamma=\frac{\alpha}{2m}=\frac{4}{2\cdot 1}=2\\ \text{s}^{-1}.
  • Frequência amortecida:
\omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}4641\\ \text{rad/s}.
  • Período da oscilação amortecida:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx 1{,}8138\\ \text{s}.
Observação sobre o regime: como \gamma^2=4<\omega_0^2=16, o sistema é subamortecido (oscila e a amplitude decai exponencialmente).
Agora a velocidade v(t)=\dot x(t). Diferenciando
x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t-\delta)
obtemos, usando regra do produto e cadeia,
v(t)=\dot x(t) = A e^{-\gamma t}\left(-\gamma\cos(\omega t-\delta)-\omega\sin(\omega t-\delta)\right).
Podemos escrever de forma compacta:
v(t) = -A e^{-\gamma t}\big(\gamma\cos(\omega t-\delta)+\omega\sin(\omega t-\delta)\big).
Substituindo numericamente \gamma=2 e \omega=2\sqrt{3} obtemos
v(t) = -A e^{-2 t}\Big(2\cos(2\sqrt{3}\,t-\delta)+2\sqrt{3}\,\sin(2\sqrt{3}\,t-\delta)\Big).
Sem condições iniciais não podemos dar um valor numérico único para v(t), mas essa é a expressão geral. Se quiser um exemplo concreto podemos escolher A=1, \delta=0 e obter x(t)=e^{-2t}\cos(2\sqrt{3}\,t) e
v(t) = -e^{-2t}\big(2\cos(2\sqrt{3}\,t)+2\sqrt{3}\sin(2\sqrt{3}\,t)\big).

Passo 6

(d) Gráfico de x(t) versus t.
Instruções práticas para traçar o gráfico: escolha valores para A e \delta (sem condições iniciais usarei como exemplo A=1, \delta=0). Plote a função
x(t)=e^{-2t}\cos(2\sqrt{3}\,t)
num intervalo adequado, por exemplo t\in[0,6] s, conectando pontos com uma curva suave. Também é útil plotar as curvas envelope \pm e^{-2t} para visualizar a amplitude decrescente.
Abaixo dou uma tabela de pontos (exemplo com A=1 e \delta=0) para t em passos de 0{,}25\\ \mathrm{s} até 2{,}0\\ \mathrm{s}. Esses pontos podem ser ligados para formar o gráfico.
Tabela exemplo x(t)=e^{-2t}\cos(2\sqrt{3}\,t):
\begin{array}{c|c} t\\ (\mathrm{s}) & x(t) \\\ \hline 0{,}00 & 1{,}000\\\\ 0{,}25 & 0{,}393\\\\ 0{,}50 & -0{,}0588\\\\ 0{,}75 & -0{,}191\\\\ 1{,}00 & -0{,}128\\\\ 1{,}25 & -0{,}0290\\\\ 1{,}50 & 0{,}0230\\\\ 1{,}75 & 0{,}0295\\\\ 2{,}00 & 0{,}0146 \end{array}
Comentário de visualização: o gráfico mostra oscilações com frequência angular \approx 3{,}464\\ \mathrm{rad/s} (período \approx 1{,}814\\ \mathrm{s}) e amplitude decaindo com envelope e^{-2t}. Se preferir fazer o gráfico num computador, um comando rápido em Python (matplotlib) ou num app gráfico com a expressão acima plota perfeitamente.

Resposta

(a) \;m\ddot x+\alpha\dot x+k x=0. Termos: m\ddot x (inércia), \alpha\dot x (amortecimento visc. proporcional à velocidade), k x (força restauradora da mola).\n
(b) \;x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\omega t-\delta) com \displaystyle \gamma=\frac{\alpha}{2m},\\ \displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\\ \displaystyle \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}. (A forma vem das raízes r=-\gamma\pm i\omega da equação característica.)\n
(c) Para m=1{,}0, k=16, \alpha=4{,}0: \displaystyle \gamma=\frac{4}{2\cdot1}=2\\ \mathrm{s^{-1}},\\ \omega_0=4\\ \mathrm{rad/s},\\ \displaystyle \omega=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\approx3{,}4641\\ \mathrm{rad/s}. \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx1{,}8138\\ \mathrm{s}. A velocidade é \displaystyle v(t)=\dot x(t)=-A e^{-\gamma t}\big(\gamma\cos(\omega t-\delta)+\omega\sin(\omega t-\delta)\big), que numericamente (substituindo \gamma=2,\\ \omega=2\sqrt{3}) fica \displaystyle v(t)=-A e^{-2t}\!\big(2\cos(2\sqrt{3}\,t-\delta)+2\sqrt{3}\sin(2\sqrt{3}\,t-\delta)\big).\n
(d) Exemplo de gráfico (caso A=1,\\ \delta=0): plotar \displaystyle x(t)=e^{-2t}\cos(2\sqrt{3}\,t). Tabela de pontos (alguns valores): t=0{,}00\to x=1{,}000, 0{,}25\to0{,}393, 0{,}50\to-0{,}0588, 0{,}75\to-0{,}191, 1{,}00\to-0{,}128, 1{,}25\to-0{,}0290, 1{,}50\to0{,}0230, 1{,}75\to0{,}0295, 2{,}00\to0{,}0146. (Ligue esses pontos e desenhe também os envelopes \pm e^{-2t}.)

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