Um bloco de massa m, movendo-se para a direita com velocidade v_{1, i}=v, faz uma colisão elástica (energia cinética é conservada) com um bloco de massa m / 2 que se move também para a direita a v_{2, i}=v / 2. Achar as velocidades finais dos blocos após a colisão.
(resposta: v_{1, f}=2 v / 3 e v_{2, f}=7 v / 6.)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar as velocidades finais dos dois blocos após a colisão.
Informações dadas:
m_1 = m,\quad m_2=\frac{m}{2},
v_{1,i}=v,\quad v_{2,i}=\frac{v}{2},
a colisão é elástica (ou seja, energia cinética é conservada).
As incógnitas que queremos achar são
v_{1,f}\quad\text{e}\quad v_{2,f}.

Passo 2

Conservação do momento linear: explicar e escrever a equação. O momento linear (quantidade de movimento) de cada bloco é m_i v_i. Em ausência de forças externas durante a colisão, o momento total antes e depois é o mesmo. A equação é
m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}.
Substituindo m_1,m_2,v_{1,i},v_{2,i}:
m\cdot v + \frac{m}{2}\cdot\frac{v}{2} = m\,v_{1,f} + \frac{m}{2}\,v_{2,f}.
Dividindo toda a equação por m (para simplificar as constantes):
v + \frac{1}{2}\cdot\frac{v}{2} = v_{1,f} + \frac{1}{2}v_{2,f}.
Calculando o lado esquerdo:
v + \frac{v}{4} = \frac{5}{4}v,
logo a equação do momento fica
v_{1,f} + \frac{1}{2}v_{2,f} = \frac{5}{4}v.

Passo 3

Conservação da energia cinética: explicar e escrever a equação. Em colisão elástica, a energia cinética total antes e depois é a mesma. A equação é
\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2.
Multiplicando ambos os lados por 2/m (para simplificar usando m como referência) e usando m_2/m_1 = \tfrac{1}{2} obtemos
v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}v_{2,i}^2 = v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}v_{2,f}^2.
Substituindo v_{1,i}=v e v_{2,i}=\tfrac{v}{2}:
v^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{v}{2}\right)^2 = v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}v_{2,f}^2.
Calcule o termo conhecido:
\frac{1}{2}\left(\frac{v}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{v^2}{4}=\frac{v^2}{8},
então o lado esquerdo é
v^2+\frac{v^2}{8}=\frac{9}{8}v^2.
Portanto a equação da energia fica
v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}v_{2,f}^2 = \frac{9}{8}v^2.

Passo 4

Agora temos o sistema de duas equações para as duas incógnitas:
\begin{cases} v_{1,f} + \dfrac{1}{2}v_{2,f} = \dfrac{5}{4}v,\\[6pt] v_{1,f}^2 + \dfrac{1}{2}v_{2,f}^2 = \dfrac{9}{8}v^2. \end{cases}
Explico a estratégia: isolar v_{1,f} na primeira equação e substituir na segunda para obter uma equação apenas em v_{2,f}. Isso é simples e direto.
Da primeira equação:
v_{1,f} = \frac{5}{4}v - \frac{1}{2}v_{2,f}.]

Passo 5

Substituir v_{1,f} na equação da energia. Primeiro calcule o quadrado:
v_{1,f}^2 =\left(\frac{5}{4}v - \frac{1}{2}v_{2,f}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}v\right)^2 - 2\cdot\frac{5}{4}v\cdot\frac{1}{2}v_{2,f} + \left(\frac{1}{2}v_{2,f}\right)^2.
Calcule cada termo:
\left(\frac{5}{4}v\right)^2 = \frac{25}{16}v^2,
2\cdot\frac{5}{4}v\cdot\frac{1}{2}v_{2,f} = \frac{5}{4}v\,v_{2,f},
\left(\frac{1}{2}v_{2,f}\right)^2 = \frac{1}{4}v_{2,f}^2.
Logo
v_{1,f}^2 = \frac{25}{16}v^2 - \frac{5}{4}v\,v_{2,f} + \frac{1}{4}v_{2,f}^2.
Substituindo isso na equação da energia:
\frac{25}{16}v^2 - \frac{5}{4}v\,v_{2,f} + \frac{1}{4}v_{2,f}^2 + \frac{1}{2}v_{2,f}^2 = \frac{9}{8}v^2.
Some os termos em v_{2,f}^2:
\frac{1}{4}v_{2,f}^2 + \frac{1}{2}v_{2,f}^2 = \frac{3}{4}v_{2,f}^2.
Então obtemos
\frac{25}{16}v^2 - \frac{5}{4}v\,v_{2,f} + \frac{3}{4}v_{2,f}^2 = \frac{9}{8}v^2.

Passo 6

Colocar tudo no formato de uma equação quadrática em v_{2,f}. Subtraia \tfrac{9}{8}v^2 dos dois lados:
\frac{3}{4}v_{2,f}^2 - \frac{5}{4}v\,v_{2,f} + \left(\frac{25}{16}-\frac{9}{8}\right)v^2 = 0.
Calcule o termo constante:
\frac{25}{16}-\frac{9}{8}=\frac{25}{16}-\frac{18}{16}=\frac{7}{16}.
Multiplicando toda a equação por 16 para eliminar denominadores:
12\,v_{2,f}^2 - 20\,v\,v_{2,f} + 7\,v^2 = 0.

Passo 7

Resolver a quadrática. Use a fórmula de Bhaskara ou fatoração. O discriminante é
\Delta = (-20v)^2 - 4\cdot 12\cdot 7\,v^2 = 400v^2 - 336v^2 = 64v^2.
Então \sqrt{\Delta}=8v.
As raízes são
v_{2,f} = \frac{20v \pm 8v}{24} = \frac{20\pm 8}{24}v.
Isso dá duas soluções:
v_{2,f} = \frac{28}{24}v = \frac{7}{6}v
ou
v_{2,f} = \frac{12}{24}v = \frac{1}{2}v.

Passo 8

Escolher a solução física correta. A solução v_{2,f}=\tfrac{1}{2}v corresponde a v_{1,f}=v (substitua na equação do momento) — isto é, as velocidades permaneceriam iguais às iniciais, como se não tivesse havido interação. Esse é um caso matematicamente possível (solução “trivial”), mas aqui a colisão ocorreu, então as velocidades devem mudar. Portanto a solução física é
v_{2,f}=\frac{7}{6}v.
Usando a equação do momento para achar v_{1,f}:
v_{1,f} = \frac{5}{4}v - \frac{1}{2}v_{2,f} = \frac{5}{4}v - \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{6}v.
Calcule os termos com denominador comum 12:
\frac{5}{4}v = \frac{15}{12}v,\quad \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{6}v = \frac{7}{12}v,
logo
v_{1,f} = \left(\frac{15}{12}-\frac{7}{12}\right)v = \frac{8}{12}v = \frac{2}{3}v.

Resposta

v_{1,f}=\dfrac{2}{3}v
v_{2,f}=\dfrac{7}{6}v

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