Mostrar que numa colisão unidimensional inelástica entre duas partículas, de massas m_{1} e m_{2}, a perda fracionária de energia relativa, calculada no referencial do centro de massa, está relacionada com o coeficiente de restituição e por:
\frac{-\Delta T^{\prime}}{T_{i}^{\prime}}=1-e^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa colisão unidimensional inelástica entre duas partículas de massas \,m_1 e \,m_2, a perda fracionária de energia cinética medida no referencial do centro de massa satisfaz
\frac{-\Delta T'}{T_i'} = 1 - e^{2}.
Informações dadas:
\text{duas partículas com massas } m_1 \text{ e } m_2,í
colisão unidimensional, referencial do centro de massa (abreviado CM), e o coeficiente de restituição \,e.
O que precisamos provar: relacionar a variação fracionária de energia cinética no CM com \,e conforme a fórmula acima.

Passo 2

Definimos velocidades no referencial do CM antes e depois da colisão:
v_{1i}',\; v_{2i}' \quad\text{(antes)}\qquad\text{e}\qquad v_{1f}',\; v_{2f}' \quad\text{(depois).}
No CM o momento total é nulo, portanto
m_1 v_1' + m_2 v_2' = 0.
Isto vale tanto antes quanto depois (subentende-se o apóstrofo, estou a indicar genericamente as velocidades no CM). A seguir definimos a velocidade relativa (no CM) antes e depois:
u_i = v_{1i}' - v_{2i}',\qquad u_f = v_{1f}' - v_{2f}'.
Agora apresento um resultado útil: a energia cinética total no CM pode ser escrita em termos da velocidade relativa e da massa reduzida \mu. Definimos
\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\quad\text{(massa reduzida).}
Vou mostrar a identidade
T'=\frac{1}{2}\,\mu\,u^{2},
onde T' é a energia cinética total no CM e u a velocidade relativa correspondente.

Passo 3

Demonstração de T'=\dfrac{1}{2}\mu u^{2} (conta passo a passo). Começamos pela expressão direta da energia cinética no CM:
T'=\frac{1}{2}m_1 v_1'^2+\frac{1}{2}m_2 v_2'^2.
Usando a condição de momento nulo m_1 v_1' + m_2 v_2' = 0, temos
v_2' = -\frac{m_1}{m_2}\,v_1'.
A velocidade relativa é
u = v_1' - v_2' = v_1' + \frac{m_1}{m_2}v_1' = v_1'\frac{m_1+m_2}{m_2}.
Isolando v_1':
v_1' = \frac{m_2}{m_1+m_2}\,u.
Analogamente
v_2' = v_1' - u = -\frac{m_1}{m_1+m_2}\,u.
Substituindo em T':
T'=\frac{1}{2}m_1\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}u\right)^{2}+\frac{1}{2}m_2\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}u\right)^{2}.
Colocando sobre um denominador comum:
T'=\frac{1}{2}\frac{m_1 m_2^2 + m_2 m_1^2}{(m_1+m_2)^2}u^{2} =\frac{1}{2}\frac{m_1 m_2(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)^2}u^{2} =\frac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}u^{2}.
Reconhecendo \mu=\dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}, obtemos
T'=\frac{1}{2}\mu u^{2},
como queríamos. Essa fórmula é muito útil porque reduz a energia total no CM a uma única “partícula” fictícia de massa \mu movendo-se com a velocidade relativa u.

Passo 4

Agora usamos a definição do coeficiente de restituição. Em colisões unidimensionais o coeficiente de restituição \,e é a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação (valores absolutos). Formalmente:
e = -\frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}}.
No referencial do CM isso se traduz, usando as definições de u_i e u_f, por
u_f = -e\,u_i.
Isto significa que a magnitude da velocidade relativa após é e vezes a magnitude antes, e que a direção se inverte (daí o sinal negativo).

Passo 5

Aplicamos a fórmula de energia no CM ao instante inicial e final. Usando T'=\dfrac{1}{2}\mu u^{2} obtemos
T_i'=\frac{1}{2}\mu u_i^{2}, \qquad T_f'=\frac{1}{2}\mu u_f^{2}.
Substituindo u_f = -e u_i obtemos
T_f'=\frac{1}{2}\mu (e^{2} u_i^{2}) = e^{2}\left(\frac{1}{2}\mu u_i^{2}\right) = e^{2}T_i'.

Passo 6

Calcule a variação de energia e a perda fracionária. A variação \Delta T' é
\Delta T' = T_f' - T_i' = e^{2}T_i' - T_i' = (e^{2}-1)T_i'.
A perda de energia (positivo quando energia foi perdida) é -\Delta T' = (1-e^{2})T_i'. Dividindo pela energia inicial obtemos a perda fracionária:
\frac{-\Delta T'}{T_i'} = 1 - e^{2},
que é exatamente a relação pedida.

Resposta

\frac{-\Delta T'}{T_i'}=1-e^{2}

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