Mostrar que numa colisão unidimensional inelástica entre duas partículas, de massas
e
, a perda fracionária de energia relativa, calculada no referencial do centro de massa, está relacionada com o coeficiente de restituição
por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa colisão unidimensional inelástica entre duas partículas de massas
e
, a perda fracionária de energia cinética medida no referencial do centro de massa satisfaz
Informações dadas:
colisão unidimensional, referencial do centro de massa (abreviado CM), e o coeficiente de restituição
.
O que precisamos provar: relacionar a variação fracionária de energia cinética no CM com conforme a fórmula acima.
O que precisamos provar: relacionar a variação fracionária de energia cinética no CM com
Passo 2
Definimos velocidades no referencial do CM antes e depois da colisão:
No CM o momento total é nulo, portanto
Isto vale tanto antes quanto depois (subentende-se o apóstrofo, estou a indicar genericamente as velocidades no CM). A seguir definimos a velocidade relativa (no CM) antes e depois:
Agora apresento um resultado útil: a energia cinética total no CM pode ser escrita em termos da velocidade relativa e da massa reduzida
. Definimos
Vou mostrar a identidade
onde
é a energia cinética total no CM e
a velocidade relativa correspondente.
Passo 3
Demonstração de
(conta passo a passo). Começamos pela expressão direta da energia cinética no CM:
Usando a condição de momento nulo
, temos
A velocidade relativa é
Isolando
:
Analogamente
Substituindo em
:
Colocando sobre um denominador comum:
Reconhecendo
, obtemos
como queríamos. Essa fórmula é muito útil porque reduz a energia total no CM a uma única “partícula” fictícia de massa
movendo-se com a velocidade relativa
.
Passo 4
Agora usamos a definição do coeficiente de restituição. Em colisões unidimensionais o coeficiente de restituição
é a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação (valores absolutos). Formalmente:
No referencial do CM isso se traduz, usando as definições de
e
, por
Isto significa que a magnitude da velocidade relativa após é
vezes a magnitude antes, e que a direção se inverte (daí o sinal negativo).
Passo 5
Aplicamos a fórmula de energia no CM ao instante inicial e final. Usando
obtemos
Substituindo
obtemos
Passo 6
Calcule a variação de energia e a perda fracionária. A variação
é
A perda de energia (positivo quando energia foi perdida) é
. Dividindo pela energia inicial obtemos a perda fracionária:
que é exatamente a relação pedida.