- Um bloco de massa
, que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano inclinado de inclinação
em relação à horizontal, está ligado por um fio, que passa sobre uma polia de raio
e massa
, a uma massa
suspensa (Fig.). O sistema é spito em repouso. Calcule, por conservação da energia, a velocidade
de
Passo 1
O enunciado (peguei estas informações da imagem) nos dá o seguinte sistema e pede uma velocidade final:
- Um bloco de massa
desliza sem atrito sobre um plano inclinado de inclinação . - O bloco está ligado por um fio que passa sobre uma polia de raio
e massa (polia maciça). - A outra extremidade do fio sustenta uma massa
, que será a que desce. - O sistema parte do repouso.
O que nos pedem: calcular, por conservação de energia, a velocidadeda massa após ela se deslocar uma distância (linear) (ou seja, após o sistema ter se movido e adquirido velocidade).
Observação: vou tomar como variável de deslocamento a distânciaque desce verticalmente; pelo fio isso corresponde ao mesmo comprimento de fio movido pelo bloco sobre o plano.
Passo 2
Entendendo o vínculo geométrico entre os deslocamentos e as velocidades:
- Se
desce uma distância (medida ao longo do fio, vertical nesse ramo), então o bloco sobe ao longo do plano inclinado também uma distância (o fio não estica e passa sem deslizar na polia). - A velocidade linear das massas tem a mesma magnitude:
para ambas as massas. - A polia gira sem escorregamento relativo ao fio, portanto a velocidade linear do fio na borda da polia é
. Logo
Passo 3
Escrevendo a conservação de energia (forma física e intenção):
- Como não há atrito e o fio não armazena energia, a perda de energia potencial gravitacional do sistema será igual à energia cinética adquirida pelas duas massas e pela rotação da polia.
- Vamos calcular a variação de energia potencial quando
desce e sobe ao longo do plano.
Cálculo da variação de energia potencial:
- A massa
perde energia potencial igual a (cai verticalmente uma distância ). - O bloco
sobe no plano; o ganho de energia potencial é o aumento de altura vertical, que vale . Portanto o bloco ganha . - A variação total de energia potencial (energia potencial inicial menos final) — isto é, a energia liberada pelo sistema — é
Nota didática rápida sobre
: quando um objeto se desloca ao longo de um plano inclinado uma distância
, a componente vertical desse deslocamento é
; multiplicando por
e pela massa obtém-se a variação de energia potencial gravitacional.
Passo 4
Energia cinética final adquirida pelas três partes:
- Energia cinética translacional de
: . - Energia cinética translacional de
: . - Energia cinética rotacional da polia:
, onde é o momento de inércia da polia. - Para uma polia maciça modelada como um disco sólido, o momento de inércia é
. - Substituindo
obtemos
- Para uma polia maciça modelada como um disco sólido, o momento de inércia é
Explicando: a energia rotacional é proporcional ao momento de inércia e ao quadrado da velocidade angular; ao trocar
por
aparece um termo em
com fator
.
Portanto a energia cinética total final é
Passo 5
Aplicando conservação de energia (energia liberada por perda de potencial = energia cinética adquirida):
Fatorando
no lado direito:
Colocando o parêntese sobre um denominador comum:
Isolando
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Finalmente, a velocidade (positiva, assumindo que
realmente desce) é
Passo 6
Condições físicas e comentários finais:
- Para a expressão fazer sentido físico (velocidade real), é necessário que
. Isso significa que a componente do peso de ao longo do plano ( ) não supere o peso de ; caso contrário o movimento seria na direção contrária ou o sistema permaneceria em equilíbrio estático. - A expressão mostra que a presença da polia maciça aumenta a inércia do sistema através do termo
no denominador (quanto maior , menor a velocidade para mesma queda ).