1. Um bloco de massa m, que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano inclinado de inclinação \theta em relação à horizontal, está ligado por um fio, que passa sobre uma polia de raio R e massa M, a uma massa m^{\prime}>m suspensa (Fig.). O sistema é spito em repouso. Calcule, por conservação da energia, a velocidade v de m^{\prime}

Passo 1

O enunciado (peguei estas informações da imagem) nos dá o seguinte sistema e pede uma velocidade final:
  • Um bloco de massa \,m\, desliza sem atrito sobre um plano inclinado de inclinação \theta.
  • O bloco está ligado por um fio que passa sobre uma polia de raio \,R\, e massa \,M\, (polia maciça).
  • A outra extremidade do fio sustenta uma massa \,m'\,>\,m, que será a que desce.
  • O sistema parte do repouso.
    O que nos pedem: calcular, por conservação de energia, a velocidade v da massa \,m'\, após ela se deslocar uma distância (linear) \,s\, (ou seja, após o sistema ter se movido e adquirido velocidade).
    Observação: vou tomar como variável de deslocamento a distância \,s\, que \,m'\, desce verticalmente; pelo fio isso corresponde ao mesmo comprimento de fio movido pelo bloco sobre o plano.

Passo 2

Entendendo o vínculo geométrico entre os deslocamentos e as velocidades:
  • Se \,m'\, desce uma distância \,s\, (medida ao longo do fio, vertical nesse ramo), então o bloco \,m\, sobe ao longo do plano inclinado também uma distância \,s\, (o fio não estica e passa sem deslizar na polia).
  • A velocidade linear das massas tem a mesma magnitude: \,v=\dfrac{ds}{dt}\, para ambas as massas.
  • A polia gira sem escorregamento relativo ao fio, portanto a velocidade linear do fio na borda da polia é \,v=\omega R\,. Logo
\omega=\dfrac{v}{R}.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia (forma física e intenção):
  • Como não há atrito e o fio não armazena energia, a perda de energia potencial gravitacional do sistema será igual à energia cinética adquirida pelas duas massas e pela rotação da polia.
  • Vamos calcular a variação de energia potencial quando \,m'\, desce \,s\, e \,m\, sobe \,s\, ao longo do plano.
Cálculo da variação de energia potencial:
  • A massa \,m'\, perde energia potencial igual a \,m' g s (cai verticalmente uma distância s).
  • O bloco \,m\, sobe no plano; o ganho de energia potencial é o aumento de altura vertical, que vale s\sin\theta. Portanto o bloco ganha \,m g (s\sin\theta).
  • A variação total de energia potencial (energia potencial inicial menos final) — isto é, a energia liberada pelo sistema — é
\Delta U = m' g s - m g s \sin\theta = g s \bigl(m' - m\sin\theta\bigr).
Nota didática rápida sobre \sin\theta: quando um objeto se desloca ao longo de um plano inclinado uma distância s, a componente vertical desse deslocamento é s\sin\theta; multiplicando por g e pela massa obtém-se a variação de energia potencial gravitacional.

Passo 4

Energia cinética final adquirida pelas três partes:
  • Energia cinética translacional de \,m\,: \dfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Energia cinética translacional de \,m'\,: \dfrac{1}{2} m' v^{2}.
  • Energia cinética rotacional da polia: \dfrac{1}{2} I \omega^{2}, onde I é o momento de inércia da polia.
    • Para uma polia maciça modelada como um disco sólido, o momento de inércia é I=\dfrac{1}{2} M R^{2}.
    • Substituindo \omega=\dfrac{v}{R} obtemos
    \dfrac{1}{2}I\omega^{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}MR^{2}\right)\left(\dfrac{v^{2}}{R^{2}}\right)=\dfrac{1}{4}M v^{2}.
Explicando: a energia rotacional é proporcional ao momento de inércia e ao quadrado da velocidade angular; ao trocar \omega por v/R aparece um termo em v^{2} com fator \tfrac{1}{4}M.
Portanto a energia cinética total final é
K_{\rm total}=\dfrac{1}{2}m v^{2}+\dfrac{1}{2}m' v^{2}+\dfrac{1}{4}M v^{2}.

Passo 5

Aplicando conservação de energia (energia liberada por perda de potencial = energia cinética adquirida):
g s \bigl(m' - m\sin\theta\bigr) = \dfrac{1}{2}m v^{2}+\dfrac{1}{2}m' v^{2}+\dfrac{1}{4}M v^{2}.
Fatorando v^{2} no lado direito:
g s \bigl(m' - m\sin\theta\bigr) = v^{2}\!\left(\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{2}m'+\dfrac{1}{4}M\right).
Colocando o parêntese sobre um denominador comum:
\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{2}m'+\dfrac{1}{4}M=\dfrac{2m+2m'+M}{4}=\dfrac{2(m+m')+M}{4}.
Isolando v^{2}:
v^{2} = \dfrac{4\,g s \bigl(m' - m\sin\theta\bigr)}{2(m+m')+M}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
v^{2} = \dfrac{2\,g s \bigl(m' - m\sin\theta\bigr)}{m+m'+\tfrac{M}{2}}.
Finalmente, a velocidade (positiva, assumindo que \,m'\, realmente desce) é
v=\sqrt{\dfrac{2\,g s \bigl(m' - m\sin\theta\bigr)}{m+m'+\tfrac{M}{2}}}\!.

Passo 6

Condições físicas e comentários finais:
  • Para a expressão fazer sentido físico (velocidade real), é necessário que \,m' - m\sin\theta>0. Isso significa que a componente do peso de \,m\, ao longo do plano ( m g\sin\theta) não supere o peso de \,m'\,; caso contrário o movimento seria na direção contrária ou o sistema permaneceria em equilíbrio estático.
  • A expressão mostra que a presença da polia maciça aumenta a inércia do sistema através do termo \tfrac{M}{2} no denominador (quanto maior \,M\,, menor a velocidade para mesma queda s).

Resposta

v=\sqrt{\dfrac{2\,g s \bigl(m' - m\sin\theta\bigr)}{m+m'+\tfrac{M}{2}}}\!

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