Um bloco de massa M é puxado verticalmente para cima com uma corda de massa desprezível e o movimento ocorre próximo à superfície da terra. A altura da partícula em relação ao solo varia como função do tempo segundo a função (6), sendo a uma constante diferente de zero e c e d duas constantes quaisquer.
h(t)=b+c t+a t^2
Indique em que instantes a partícula muda o sentido do movimento.

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: um bloco de massa h(t) = b + c,t + a,t^2 sobe verticalmente com altura dada por
onde e são constantes.
Matéria envolvida: Cinemática em uma dimensão (movimento vertical) e cálculo de derivadas.
O que precisamos: usar a definição de velocidade como derivada da posição e achar quando essa velocidade fica zero (é aí que o sentido do movimento inverte).

Passo 2

Na cinemática, a velocidade instantânea v(t) = ddtl(h(t)r) é a derivada de em relação ao tempo :
Isso faz sentido, porque a derivada de posição dá a variação instantânea de altura por unidade de tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 3

Vamos derivar v(t) = c + 2,a,t :
  • A derivada de (constante) é 0.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
    Logo

Passo 4

O sentido do movimento muda quando a velocidade passa de positiva para negativa (ou vice-versa), ou seja, quando
v(t) = 0
Então basta resolver
c + 2,a,t = 0

Passo 5

Isolando 2,a,t = -c Longrightarrow t = -c2,a :

Resposta

A partícula muda o sentido do movimento no instante
boxedt = -c2,a

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