Um bloco de massa M, em repouso sobre uma superfície horizontal, é preso a um suporte rígido, à sua direita, por uma mola de constante elástica k. Um projétil de massa m e velocidade v (na direção e sentido do eixo horizontal) é disparado, atingindo o bloco no instante t=0 e permanecendo em seu interior. Determine (a) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e (b) a amplitude do movimento harmônico simples resultante. (c) Escreva a periódica função x(t), do tipo cosseno, que descreve a posição do bloco para t >= 0, ajustando sua fase de modo que x(0)=0.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa M apoiado em superfície horizontal e preso à direita por uma mola de constante elástica k. Um projétil de massa m atinge o bloco com velocidade v e fica preso a ele (colisão perfeitamente inelástica em t=0). Após a colisão, o conjunto de massa total M+m executa um movimento harmônico simples. Para resolver, vamos usar:
– Conservação de momento linear na colisão.
– Equação do MHS (frequência angular omega, condição inicial de posição e velocidade, amplitude e fase).

Passo 2

Aplicando conservação de momento linear na colisão perfeitamente inelástica:
m,v + Mcdot 0 = (M+m),v0 Longrightarrow v0 = m,vM+m

Passo 3

Depois da colisão, a massa total é M+m. A frequência angular do MHS é
omega = raizkM+m
Como em t=0 temos x(0)=0 e dot x(0)=v0, a amplitude A satisfaz
v0 = A,omega Longrightarrow A = v0omega = m,vM+mraizkM+m = m,vraizk,(M+m)

Passo 4

A solução geral do MHS é
x(t) = A cosl(omega t + phir)
De x(0)=0 vem Acosphi=0 e de dot x(0)=v0>0 vem -Aomegasinphi=v0. Isso dá phi=-tfracpi2. Logo
x(t) = A cosl(omega t - tfracpi2r) = A,sin(omega t)

Resposta

(a) v0 = m,vM+m
(b) A = m,vraizk,(M+m)
(c) x(t) = m,vraizk,(M+m);cos!l(omega t - tfracpi2r), com omega=raizkM+m.

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