Um bloco de massa
, inicialmente em repouso, recebe a açāo exclusiva de uma força
constante que o leva a percorrer uma distância d durante um intervalo de tempo T. Um outro bloco, de massa
, também inicialmente em repouso, recebe a ação da mesma força
constante, de modo a percorrer a mesma distância d durante um intervalo de tempo 2T. Determine a relação
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre massas:
- Um bloco de massa
está inicialmente em repouso e é submetido a uma força constante . Sob essa força ele percorre uma distância no intervalo de tempo . - Outro bloco de massa
, também inicialmente em repouso e submetido à mesma força constante , percorre a mesma distância em tempo . - Pergunta: determinar a razão
.
Passo 2
Conceito usado: segunda lei de Newton e aceleração constante.
- A segunda lei de Newton diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui
é a força aplicada (constante),
é a massa do corpo e
é a aceleração produzida. Como
é constante e atua sem oposição além da massa, a aceleração resultante também é constante. Da equação acima obtemos o módulo da aceleração:
onde
é o módulo de
e
é o módulo da aceleração.
- Interpretação simples: quanto maior a massa, menor a aceleração produzida pela mesma força; isto é,
é inversamente proporcional a .
Passo 3
Equação do movimento com aceleração constante a partir do repouso.
- A equação da posição para um movimento retilíneo com aceleração constante, partindo com velocidade inicial
, é
- No nosso caso ambos os blocos partem do repouso, então
. Assim a distância percorrida em tempo reduz-se a
- Aqui
é o deslocamento (no enunciado é ), é a aceleração constante e é o intervalo de tempo.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao bloco de massa
.
- Para o bloco
temos aceleração (pela segunda lei) e tempo . A distância percorrida é , logo:
- Substituindo
:
- Posso escrever de forma mais explícita:
Passo 5
Aplicando a fórmula ao bloco de massa
.
- Para o bloco
temos e tempo . A distância também é , então:
- Substituindo
e desenvolvendo :
- Simplificando:
Passo 6
Igualando as duas expressões para
e resolvendo para a razão
.
- Das expressões dos passos anteriores temos
- Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(são não nulos), obtendo
- Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
- Portanto
Passo 7
Verificação rápida (intuição): como a mesma força age sobre massas diferentes, a massa maior terá aceleração menor e precisará de mais tempo para percorrer a mesma distância. Aqui
significa que o segundo bloco é quatro vezes mais pesado, por isso leva o dobro do tempo para percorrer a mesma distância — consistência verificada.