Um bloco de massa \mathbf{m}_{1}, inicialmente em repouso, recebe a açāo exclusiva de uma força \vec{F} constante que o leva a percorrer uma distância d durante um intervalo de tempo T. Um outro bloco, de massa \mathbf{m}_{2}, também inicialmente em repouso, recebe a ação da mesma força \vec{F} constante, de modo a percorrer a mesma distância d durante um intervalo de tempo 2T. Determine a relação \frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma relação entre massas:
  • Um bloco de massa m_{1} está inicialmente em repouso e é submetido a uma força constante \vec{F}. Sob essa força ele percorre uma distância d no intervalo de tempo T.
  • Outro bloco de massa m_{2}, também inicialmente em repouso e submetido à mesma força constante \vec{F}, percorre a mesma distância d em tempo 2T.
  • Pergunta: determinar a razão \dfrac{m_{1}}{m_{2}}.

Passo 2

Conceito usado: segunda lei de Newton e aceleração constante.
  • A segunda lei de Newton diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
\vec{F} = m\,\vec{a}.
Aqui \vec{F} é a força aplicada (constante), m é a massa do corpo e \vec{a} é a aceleração produzida. Como \vec{F} é constante e atua sem oposição além da massa, a aceleração resultante também é constante. Da equação acima obtemos o módulo da aceleração:
a=\frac{F}{m},
onde F é o módulo de \vec{F} e a é o módulo da aceleração.
  • Interpretação simples: quanto maior a massa, menor a aceleração produzida pela mesma força; isto é, a é inversamente proporcional a m.

Passo 3

Equação do movimento com aceleração constante a partir do repouso.
  • A equação da posição para um movimento retilíneo com aceleração constante, partindo com velocidade inicial v_{0}, é
s = v_{0}t + \frac{1}{2} a t^{2}.
  • No nosso caso ambos os blocos partem do repouso, então v_{0}=0. Assim a distância percorrida em tempo t reduz-se a
s = \frac{1}{2} a t^{2}.
  • Aqui s é o deslocamento (no enunciado é d), a é a aceleração constante e t é o intervalo de tempo.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao bloco de massa m_{1}.
  • Para o bloco m_{1} temos aceleração a_{1}=\dfrac{F}{m_{1}} (pela segunda lei) e tempo T. A distância percorrida é d, logo:
d = \frac{1}{2} a_{1} T^{2}.
  • Substituindo a_{1}:
d = \frac{1}{2}\left(\frac{F}{m_{1}}\right)T^{2}.
  • Posso escrever de forma mais explícita:
d = \frac{F T^{2}}{2 m_{1}}.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao bloco de massa m_{2}.
  • Para o bloco m_{2} temos a_{2}=\dfrac{F}{m_{2}} e tempo 2T. A distância também é d, então:
d = \frac{1}{2} a_{2} (2T)^{2}.
  • Substituindo a_{2} e desenvolvendo (2T)^{2}=4T^{2}:
d = \frac{1}{2}\left(\frac{F}{m_{2}}\right)4T^{2}.
  • Simplificando:
d = 2\frac{F T^{2}}{m_{2}}.

Passo 6

Igualando as duas expressões para d e resolvendo para a razão \dfrac{m_{1}}{m_{2}}.
  • Das expressões dos passos anteriores temos
\frac{F T^{2}}{2 m_{1}} = 2\frac{F T^{2}}{m_{2}}.
  • Podemos simplificar dividindo ambos os lados por F T^{2} (são não nulos), obtendo
\frac{1}{2 m_{1}} = \frac{2}{m_{2}}.
  • Multiplicando ambos os lados por 2 m_{1} m_{2} para eliminar denominadores:
m_{2} = 4 m_{1}.
  • Portanto
\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{1}{4}.

Passo 7

Verificação rápida (intuição): como a mesma força age sobre massas diferentes, a massa maior terá aceleração menor e precisará de mais tempo para percorrer a mesma distância. Aqui m_{2}=4m_{1} significa que o segundo bloco é quatro vezes mais pesado, por isso leva o dobro do tempo para percorrer a mesma distância — consistência verificada.

Resposta

\dfrac{m_{1}}{m_{2}}=\dfrac{1}{4}

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