Uma tira de borracha de peso desprezível e comprimento natural (sem deformaçāo) \mathbf{L}_{0} é fixada em um suporte de modo a permanecer em posição vertical. Nela, são pendurados sucessivamente dois blocos, \mathbf{A} e \mathbf{B}, de pesos respectivamente iguais a 1,0 \mathrm{~N} e 3,0 \mathrm{~N}. Com A suspenso e em equilibrio, verifica-se que a tira de borracha apresenta um comprimento de 8,0 \mathrm{~cm}, e com \mathbf{B} suspenso e em equilibrio, nota-se, agora, um comprimento de 12,0 \mathrm{~cm}.
Admitindo-se que a tira de borracha obedeça à Lei de Hooke, determine:
a) o valor de \mathbf{L}_{0}, em centimetros;
b) a constante elástica da tira de borracha, em \mathrm{N} / \mathrm{cm}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar o comprimento natural da tira de borracha, isto é \mathbf{L_0}, em centímetros;
  • (b) determinar a constante elástica da tira de borracha, em \mathrm{N}/\mathrm{cm}.
Dados fornecidos (todos retirados do enunciado):
\; - com o bloco A pendurado em equilíbrio: peso de A \;=\;1{,}0\\ \mathrm{N} e comprimento da tira \;=\;8{,}0\\ \mathrm{cm};
\; - com o bloco B pendurado em equilíbrio: peso de B \;=\;3{,}0\\ \mathrm{N} e comprimento da tira \;=\;12{,}0\\ \mathrm{cm}.
Observação importante (do enunciado): a tira obedece à Lei de Hooke.

Passo 2

Vamos definir variáveis e lembrar o que diz a Lei de Hooke de forma bem prática:
\; - L_0 é o comprimento natural da tira (o que queremos achar).
\; - k é a constante elástica da tira, medida em \mathrm{N}/\mathrm{cm} se deixarmos comprimentos em centímetros.
\; - F_A é a força (peso) do bloco A: \;F_A=1{,}0\\ \mathrm{N}.
\; - F_B é a força (peso) do bloco B: \;F_B=3{,}0\\ \mathrm{N}.
\; - L_A é o comprimento observado com A: \;L_A=8{,}0\\ \mathrm{cm}.
\; - L_B é o comprimento observado com B: \;L_B=12{,}0\\ \mathrm{cm}.
Lei de Hooke (explicada): quando a mola/tira é esticada, a força elástica é proporcional à extensão. Em fórmulas:
F_{\text{el}} = k\,x,
onde x é a extensão (quanto a tira ficou maior que L_0) e k é a constante elástica. Em equilíbrio, a força elástica equilibra o peso: F_{\text{el}} = F_{\text{peso}}. Logo para cada bloco teremos k x = F, logo x = \dfrac{F}{k}.

Passo 3

Relacionando comprimento observado com comprimento natural:
a extensão quando A está pendurado é x_A e quando B está pendurado é x_B. Então:
L_A = L_0 + x_A, \qquad L_B = L_0 + x_B.
Pela Lei de Hooke e equilíbrio:
x_A = \dfrac{F_A}{k}, \qquad x_B = \dfrac{F_B}{k}.
Substituindo nas expressões de L_A e L_B obtemos duas equações úteis:
L_A = L_0 + \dfrac{F_A}{k}, \qquad L_B = L_0 + \dfrac{F_B}{k}.

Passo 4

Agora vamos eliminar L_0 para achar k. Subtraindo a primeira equação da segunda:
L_B - L_A = \left(L_0 + \dfrac{F_B}{k}\right) - \left(L_0 + \dfrac{F_A}{k}\right) = \dfrac{F_B - F_A}{k}.
Isolando k temos a fórmula prática:
k = \dfrac{F_B - F_A}{\,L_B - L_A\,}.
Substituindo os valores dados (mantendo comprimento em \mathrm{cm} para obter k em \mathrm{N}/\mathrm{cm}):
F_B - F_A = 3{,}0 - 1{,}0 = 2{,}0\\ \mathrm{N}, \qquad L_B - L_A = 12{,}0 - 8{,}0 = 4{,}0\\ \mathrm{cm}.
Logo
k = \dfrac{2{,}0\\ \mathrm{N}}{4{,}0\\ \mathrm{cm}} = 0{,}50\\ \mathrm{N}/\mathrm{cm}.

Passo 5

Com k conhecido, voltamos a uma das equações para achar L_0. Usando L_A = L_0 + \dfrac{F_A}{k} e substituindo:
L_0 = L_A - \dfrac{F_A}{k}.
Substituindo números:
\dfrac{F_A}{k} = \dfrac{1{,}0\\ \mathrm{N}}{0{,}50\\ \mathrm{N}/\mathrm{cm}} = 2{,}0\\ \mathrm{cm}.
Portanto
L_0 = 8{,}0\\ \mathrm{cm} - 2{,}0\\ \mathrm{cm} = 6{,}0\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar mais seguro): usando L_0=6{,}0\\ \mathrm{cm} e k=0{,}50\\ \mathrm{N}/\mathrm{cm},
com F_B=3{,}0\\ \mathrm{N} temos x_B = \dfrac{3{,}0}{0{,}50} = 6{,}0\\ \mathrm{cm} e L_0+x_B = 6{,}0+6{,}0 = 12{,}0\\ \mathrm{cm}, que bate com o enunciado. Tudo consistente!

Resposta

L_0 = 6{,}0\\ \mathrm{cm}
k = 0{,}50\\ \mathrm{N}/\mathrm{cm}

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