Um bloco de massa \mathbf{m}=\mathbf{4 , 0} \mathbf{~ k g} está inicialmente encostado em uma mola de constante elástica \mathbf{k}=\mathbf{6 0 0 ~ N} / \mathbf{m}, comprimida de \mathbf{x}=\mathbf{0 , 2 0 ~ m}. O conjunto está sobre uma superfície horizontal sem atrito. Após ser liberado, o bloco é empurrado pela mola, percorre o trecho horizontal e então sobe uma rampa rugosa inclinada de \mathbf{3 0}^{\boldsymbol{\circ}} com \mathbf{5 , 0} \mathbf{~ m} de extensão. O coeficiente de atrito cinético na rampa é \boldsymbol{\mu}=\mathbf{0 , 2 0}. Considere \mathbf{g}=\mathbf{1 0 ~ m} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}}.
(a) Determine a velocidade do bloco ao deixar a mola.
(b) Calcule a distância percorrida pelo bloco ao subir a rampa.
(c) Determine a altura máxima atingida pelo bloco na rampa.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos fornece dados. Vou listar claramente o que nos pedem e os dados que temos.
  • Perguntas:
    1. Determinar a velocidade do bloco ao deixar a mola.
    2. Calcular a distância percorrida pelo bloco ao subir a rampa (até parar).
    3. Determinar a altura máxima atingida pelo bloco na rampa.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    m=4,0\\ \mathrm{kg},\quad k=600\\ \mathrm{N/m},\quad x=0,20\\ \mathrm{m},
\theta=30^\circ,\quad \mu=0,20,\quad L_{\text{rampa}}=5,0\\ \mathrm{m},\quad g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Observações importantes (também dadas pelo enunciado):
    • A superfície horizontal antes da rampa é sem atrito, então não há perda de energia até a base da rampa.
    • A mola está comprimida de x=0,20\\ \mathrm{m} inicialmente e é liberada; o bloco sai da mola e chega à base da rampa com certa energia cinética.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vou achar a velocidade do bloco ao deixar a mola. Aqui usamos conservação de energia entre o estado inicial (mola comprimida, bloco em repouso) e o instante em que o bloco deixa a mola (mola em comprimento natural, bloco com velocidade v). A energia armazenada na mola é energia potencial elástica dada por
E_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Essa energia é convertida em energia cinética do bloco
E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Como não há perda antes da rampa, igualamos:
\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Isolando v:
v = x\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Agora substituímos os valores (todos em TeX):
v = 0,20\sqrt{\dfrac{600}{4,0}}.
Calculemos passo a passo: \dfrac{600}{4,0}=150. Então
v = 0,20\sqrt{150} = 0,20\cdot 12,247\ldots \approx 2,449\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais:
v \approx 2,45\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Vou transformar isso em energia numérica para usar depois. A energia cinética ao atingir a rampa é
E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
Mas também podemos usar diretamente a energia da mola (mais simples e exata numericamente):
E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}k x^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 600\cdot(0,20)^{2}.
Calcule:
(0,20)^{2}=0,04,\quad 600\cdot 0,04=24,\quad \tfrac{1}{2}\cdot 24=12.
Portanto
E_{\text{cin}}=12\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Agora calculamos a distância s que o bloco percorre subindo a rampa até parar. Vou explicar as forças na rampa e usar o princípio do trabalho-energia.
Forças que fazem trabalho dissipativo/contra o movimento ao subir:
  • Componente do peso paralela à rampa: m g \sin\theta (puxa para baixo ao longo da rampa).
  • Força de atrito cinético: f_{k}=\mu N=\mu m g \cos\theta (sempre contrária ao movimento).
O trabalho total das forças que retiram energia (por unidade de deslocamento s ao longo da rampa) é
W_{\text{res}} = \bigl(m g \sin\theta + \mu m g \cos\theta\bigr)\,s.
Pelo teorema trabalho-energia, a energia cinética inicial é gasta vencendo esses trabalhos até parar:
\tfrac{1}{2}m v^{2}= \bigl(m g \sin\theta + \mu m g \cos\theta\bigr)\,s.
Isolando s:
s=\dfrac{\tfrac{1}{2}m v^{2}}{m g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)} =\dfrac{\tfrac{1}{2}v^{2}}{g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)}.
(Aqui simplifiquei cancelando m.)

Passo 5

Substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos \sin\theta e \cos\theta para \theta=30^\circ:
\sin 30^\circ = 0,5,\qquad \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025\ldots
Com \mu=0,20 temos
\sin\theta+\mu\cos\theta = 0,5 + 0,20\cdot 0,866025\ldots = 0,5 + 0,173205\ldots = 0,673205\ldots
Agora usamos v^{2}. Como \tfrac{1}{2}m v^{2}=12\\ \mathrm{J} (do Passo 3), podemos usar diretamente:
s=\dfrac{12}{m g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)}.
Com m g=4,0\cdot 10=40,
s=\dfrac{12}{40\cdot 0,673205\ldots}=\dfrac{12}{26,9282\ldots}\approx 0,4458\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
s\approx 0,446\\ \mathrm{m}.
Observação rápida (útil na prova): a rampa tem comprimento 5,0\\ \mathrm{m}, como s\ll 5,0\\ \mathrm{m} o bloco realmente para antes de chegar ao topo.

Passo 6

Agora a altura máxima alcançada h. Subimos ao longo da rampa uma distância s; a componente vertical é
h = s\sin\theta.
Usando \sin 30^\circ=0,5 e s\approx 0,4458\\ \mathrm{m}:
h = 0,4458\cdot 0,5 \approx 0,2229\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
h\approx 0,223\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v\approx 2,45\\ \mathrm{m/s}
(b) s\approx 0,446\\ \mathrm{m}
(c) h\approx 0,223\\ \mathrm{m}

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