Um foguete de massa inicial
, deslocando-se no espaço profundo (livre de forças gravitacionais ou de arrasto externas), queima combustível expelindo gases com uma velocidade de exaustão constante
em relação ao corpo do foguete. Se o foguete partiu do repouso, qual será a sua velocidade escalar final no instante em que sua massa instantânea for reduzida exatamente à metade de seu valor inicial (
)?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo, sem resolver nada ainda):
-
Dados fornecidos:
- Massa inicial do foguete:
. - O foguete se encontra em espaço profundo, logo não há forças externas (sem gravidade, sem arrasto).
- Os gases são expelidos com velocidade de exaustão constante
em relação ao foguete. - O foguete partiu do repouso (velocidade inicial
). - Quer-se a velocidade escalar final no instante em que a massa instantânea do foguete é
.
- Massa inicial do foguete:
-
O que o enunciado pergunta:
- Determinar a velocidade escalar final do foguete quando a sua massa for reduzida a
. - É uma questão de múltipla escolha com alternativas:
a)
b)
c)
d)
- Determinar a velocidade escalar final do foguete quando a sua massa for reduzida a
Passo 2
Escolha do método (explicando por que):
Vamos usar conservação do momento linear aplicada de forma diferencial (o chamado argumento de Tsiolkovsky). Por que isso? Porque durante a queima o foguete perde massa continuamente por expulsão de gases, e não existem forças externas, então a única lei que conecta variação de massa com variação de velocidade é a conservação do momento. O tratamento diferencial (considerar um pequeno elemento de massa e escrever momento antes e depois) é o método clássico, direto e simples para obter uma fórmula que possa ser integrada. Não precisamos de energia nem de trabalho aqui; momento é a ferramenta natural.
Vamos usar conservação do momento linear aplicada de forma diferencial (o chamado argumento de Tsiolkovsky). Por que isso? Porque durante a queima o foguete perde massa continuamente por expulsão de gases, e não existem forças externas, então a única lei que conecta variação de massa com variação de velocidade é a conservação do momento. O tratamento diferencial (considerar um pequeno elemento de massa e escrever momento antes e depois) é o método clássico, direto e simples para obter uma fórmula que possa ser integrada. Não precisamos de energia nem de trabalho aqui; momento é a ferramenta natural.
Passo 3
Definições, convenções de sinal e variáveis (tudo bem mastigado):
- Seja
a massa do foguete no tempo . Inicialmente . No instante final queremos . - Seja
a velocidade do foguete no instante ; como partiu do repouso, . - A velocidade de exaustão dos gases em relação ao foguete é
(constante). Por convensão escolhemos o sentido positivo igual ao sentido do movimento final do foguete; os gases são expulsos para trás, portanto em relação ao referencial inercial os gases têm velocidade aproximadamente . - Considere uma pequena emissão de massa durante um intervalo infinitesimal: seja
a massa expelida (tomada positiva). Então a massa do foguete decresce: a variação da massa do foguete é .
Passo 4
Conservação do momento para um pequeno intervalo (escrevendo tudo e explicando cada termo):
- Momento antes da pequena ejeção:
. - Depois da ejeção, o foguete tem massa
e velocidade . A massa expelida tem velocidade (no referencial inercial) igual a porque é expelida para trás com velocidade relativa . - Igualando momentos (não há forças externas):
- Desenvolvendo o lado direito e desprezando termos de segunda ordem (como
): Os termos e se cancelam, e desprezamos . Sobram: - Subtraindo
de ambos os lados: - Portanto a relação diferencial que liga
e é
Passo 5
Relacionar
com
e obter a equação integrável:
- Lembrando que
(porque quando se expele massa , a massa do foguete diminui), substituímos: - Assim temos a equação diferencial:
- Agora integramos ambos os lados do instante inicial (massa
, velocidade ) até o instante final (massa , velocidade ). A integral fica: Explicando: e são variáveis de integração; os limites garantem que usamos a condição inicial quando .
Passo 6
Resolver as integrais e interpretar o resultado:
- A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é . Logo: - Esta é a famosa equação do foguete (equação de Tsiolkovsky). Interpretação física: quanto mais massa de combustível é jogada fora, maior pode ficar o fator
e maior a velocidade adquirida, proporcional a e ao logaritmo dessa razão.
Passo 7
Aplicar ao caso pedido
e indicar a alternativa correta:
- Substituindo
em : - Num valor numérico aproximado,
, então . Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)