Um foguete de massa inicial M_{0}, deslocando-se no espaço profundo (livre de forças gravitacionais ou de arrasto externas), queima combustível expelindo gases com uma velocidade de exaustão constante v_{\text {rel }} em relação ao corpo do foguete. Se o foguete partiu do repouso, qual será a sua velocidade escalar final no instante em que sua massa instantânea for reduzida exatamente à metade de seu valor inicial ( M=0,50 M_{0} )?
a) 0,50 v_{\text {rel }}
b) v_{\text {rel }} \ln (2)
c) v_{\text {rel }} \ln (0,50)
d) 2,0 v_{\text {rel }}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo, sem resolver nada ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Massa inicial do foguete: M_{0}.
    • O foguete se encontra em espaço profundo, logo não há forças externas (sem gravidade, sem arrasto).
    • Os gases são expelidos com velocidade de exaustão constante v_{\text{rel}} em relação ao foguete.
    • O foguete partiu do repouso (velocidade inicial v(0)=0).
    • Quer-se a velocidade escalar final no instante em que a massa instantânea do foguete é M=0{,}50\,M_{0}.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Determinar a velocidade escalar final do foguete quando a sua massa for reduzida a M=0{,}50\,M_{0}.
    • É uma questão de múltipla escolha com alternativas:
      a) 0{,}50\,v_{\text{rel}}
      b) v_{\text{rel}}\ln(2)
      c) v_{\text{rel}}\ln(0{,}50)
      d) 2{,}0\,v_{\text{rel}}

Passo 2

Escolha do método (explicando por que):
Vamos usar conservação do momento linear aplicada de forma diferencial (o chamado argumento de Tsiolkovsky). Por que isso? Porque durante a queima o foguete perde massa continuamente por expulsão de gases, e não existem forças externas, então a única lei que conecta variação de massa com variação de velocidade é a conservação do momento. O tratamento diferencial (considerar um pequeno elemento de massa e escrever momento antes e depois) é o método clássico, direto e simples para obter uma fórmula que possa ser integrada. Não precisamos de energia nem de trabalho aqui; momento é a ferramenta natural.

Passo 3

Definições, convenções de sinal e variáveis (tudo bem mastigado):
  • Seja M(t) a massa do foguete no tempo t. Inicialmente M(0)=M_{0}. No instante final queremos M=M_{\text{f}}=0{,}50\,M_{0}.
  • Seja v(t) a velocidade do foguete no instante t; como partiu do repouso, v(0)=0.
  • A velocidade de exaustão dos gases em relação ao foguete é v_{\text{rel}} (constante). Por convensão escolhemos o sentido positivo igual ao sentido do movimento final do foguete; os gases são expulsos para trás, portanto em relação ao referencial inercial os gases têm velocidade aproximadamente v(t) - v_{\text{rel}}.
  • Considere uma pequena emissão de massa durante um intervalo infinitesimal: seja dm a massa expelida (tomada positiva). Então a massa do foguete decresce: a variação da massa do foguete é dM = -dm.

Passo 4

Conservação do momento para um pequeno intervalo (escrevendo tudo e explicando cada termo):
  • Momento antes da pequena ejeção: P_{\text{antes}} = M\,v.
  • Depois da ejeção, o foguete tem massa M-dm e velocidade v+dv. A massa expelida dm tem velocidade (no referencial inercial) igual a v - v_{\text{rel}} porque é expelida para trás com velocidade relativa v_{\text{rel}}.
  • Igualando momentos (não há forças externas): M\,v = (M-dm)(v+dv) + dm\,(v - v_{\text{rel}}).
  • Desenvolvendo o lado direito e desprezando termos de segunda ordem (como dm\,dv): M\,v = M\,v + M\,dv - v\,dm - \cancel{dm\,dv} + v\,dm - v_{\text{rel}}\,dm.Os termos -v\,dm e +v\,dm se cancelam, e desprezamos dm\,dv. Sobram: M\,v = M\,v + M\,dv - v_{\text{rel}}\,dm.
  • Subtraindo M\,v de ambos os lados: 0 = M\,dv - v_{\text{rel}}\,dm.
  • Portanto a relação diferencial que liga dv e dm é M\,dv = v_{\text{rel}}\,dm.

Passo 5

Relacionar dm com dM e obter a equação integrável:
  • Lembrando que dM=-dm (porque quando se expele massa dm>0, a massa do foguete diminui), substituímos: M\,dv = v_{\text{rel}}\,dm = -v_{\text{rel}}\,dM.
  • Assim temos a equação diferencial: dv = -v_{\text{rel}}\,\frac{dM}{M}.
  • Agora integramos ambos os lados do instante inicial (massa M_{0}, velocidade 0) até o instante final (massa M, velocidade v). A integral fica: \int_{0}^{v} dv' = -v_{\text{rel}} \int_{M_{0}}^{M} \frac{dM'}{M'}.Explicando: v' e M' são variáveis de integração; os limites garantem que usamos a condição inicial v=0 quando M=M_{0}.

Passo 6

Resolver as integrais e interpretar o resultado:
  • A integral do lado esquerdo é simplesmente v-0=v. A integral do lado direito é -v_{\text{rel}}[\ln M']_{M_{0}}^{M}. Logo: v = -v_{\text{rel}}\bigl(\ln M - \ln M_{0}\bigr) = v_{\text{rel}}\ln\!\left(\frac{M_{0}}{M}\right).
  • Esta é a famosa equação do foguete (equação de Tsiolkovsky). Interpretação física: quanto mais massa de combustível é jogada fora, maior pode ficar o fator \dfrac{M_{0}}{M} e maior a velocidade adquirida, proporcional a v_{\text{rel}} e ao logaritmo dessa razão.

Passo 7

Aplicar ao caso pedido M=0{,}50\,M_{0} e indicar a alternativa correta:
  • Substituindo M=M_{\text{f}}=0{,}50\,M_{0} em \displaystyle v = v_{\text{rel}}\ln\!\left(\frac{M_{0}}{M}\right): v = v_{\text{rel}}\ln\!\left(\frac{M_{0}}{0{,}50\,M_{0}}\right) = v_{\text{rel}}\ln(2).
  • Num valor numérico aproximado, \ln(2)\approx 0{,}6931, então v\approx 0{,}6931\,v_{\text{rel}}. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) v_{\text{rel}}\ln(2)

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