Um bloco de massa \mathrm{m}=5 \mathrm{~kg} é colocado, em repouso, em um plano inclinado de 30^{\circ} em relação ao plano horizontal. Se os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano de apoio valem \mu \mathrm{e}=0,7 e \mu \mathrm{c}=0,5, pergunta-se:
a) O bloco vai descer o plano?
b) Se sim, determine com que aceleração; se não, determine a força de atrito que atua sobre o bloco.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa \mathrm{m}=5\\ \mathrm{kg} apoiado num plano inclinado com ângulo \(30^\circ) em relação ao horizontal. Os coeficientes de atrito são \mu_{\mathrm{e}}=0,7 (estático) e \mu_{\mathrm{c}}=0,5 (cinético). O bloco é colocado em repouso. As perguntas são:
a) O bloco vai descer o plano?
b) Se sim, determine com que aceleração; se não, determine a força de atrito que atua sobre o bloco.
Informações relevantes dadas:
\mathrm{m}=5\\ \mathrm{kg}, \theta=30^\circ, \mu_{\mathrm{e}}=0,7, \mu_{\mathrm{c}}=0,5, e usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Conceitos e forças envolvidas (explicação didática):
  • A força peso \vec{P} tem módulo mg e aponta verticalmente para baixo. No plano inclinado de ângulo \theta decompomos \vec{P} em duas componentes: uma perpendicular ao plano (que determina a normal) e outra paralela ao plano (que tende a fazer o bloco deslizar).
  • A componente perpendicular do peso vale \displaystyle mg\cos\theta. Essa componente é equilibrada pela força normal N do plano, portanto N=mg\cos\theta.
  • A componente paralela do peso vale \displaystyle mg\sin\theta. Se \displaystyle mg\sin\theta for maior que a máxima força de atrito estático \displaystyle f_{s}^{\max}=\mu_{\mathrm{e}}N, o bloco começa a deslizar para baixo. Se \displaystyle mg\sin\theta \le f_{s}^{\max}, o atrito estático se ajusta até equilibrar exatamente \displaystyle mg\sin\theta e o bloco permanece em repouso.
  • Se o bloco deslizar, a força de atrito vale \displaystyle f_{\mathrm{c}}=\mu_{\mathrm{c}}N (cinético), e a aceleração é obtida por \displaystyle a=\frac{mg\sin\theta - f_{\mathrm{c}}}{m} (segunda lei de Newton ao longo do plano).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números dados.

Passo 3

Calcular a força normal N.
N = mg\cos\theta
Substituindo \displaystyle m=5, \displaystyle g=9,8 e \displaystyle \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254,
N = 5\cdot 9,8 \cdot \cos30^\circ = 5\cdot 9,8 \cdot 0,8660254.
Calculemos: 5\cdot 9,8 = 49. Então
N = 49 \cdot 0,8660254 \approx 42,435247\\ \mathrm{N}.
Arredondando com duas casas decimais:
N \approx 42,44\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular a componente do peso paralela ao plano, \displaystyle mg\sin\theta.
mg\sin\theta = 5\cdot 9,8 \cdot \sin30^\circ.
Como \displaystyle \sin30^\circ = 0,5,
mg\sin\theta = 5\cdot 9,8 \cdot 0,5 = 49 \cdot 0,5 = 24,5\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular a máxima força de atrito estático disponível, \displaystyle f_{s}^{\max}=\mu_{\mathrm{e}}N.
f_{s}^{\max} = 0,7 \cdot N = 0,7 \cdot 42,435247 \approx 29,704673\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
f_{s}^{\max} \approx 29,70\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Comparação que decide se o bloco desliza:
  • Componente paralela: \displaystyle mg\sin\theta = 24,5\\ \mathrm{N}.
  • Máxima força de atrito estático: \displaystyle f_{s}^{\max} \approx 29,70\\ \mathrm{N}.
Como
mg\sin\theta = 24,5\\ \mathrm{N} \le f_{s}^{\max} \approx 29,70\\ \mathrm{N},
a força de atrito estático disponível é suficiente para impedir o movimento. Logo, o bloco não vai descer; ele permanece em repouso.

Passo 7

Determinar a força de atrito que atua quando o bloco está em repouso:
  • Em equilíbrio (sem movimento), a força de atrito estático assume o valor necessário para equilibrar a componente paralela do peso, isto é,
f_s = mg\sin\theta = 24,5\\ \mathrm{N}.
Direção: como o bloco tende a deslizar para baixo ao longo do plano, a força de atrito atua para cima ao longo do plano, com módulo 24,5\\ \mathrm{N}. A aceleração do bloco é \displaystyle a=0 (repouso).

Passo 8

Comentário didático extra (útil para prova): se a inclinação fosse maior ou o coeficiente estático menor de modo que \displaystyle mg\sin\theta > f_{s}^{\max}, o bloco deslizaria e então usaríamos a força de atrito cinético \displaystyle f_{\mathrm{c}}=\mu_{\mathrm{c}}N para obter a aceleração:
a=\frac{mg\sin\theta - \mu_{\mathrm{c}}N}{m}.
Como exemplo hipotético com os números dados, \displaystyle f_{\mathrm{c}}=0,5\cdot 42,435247\approx 21,22\\ \mathrm{N}, então a força resultante seria 24,5-21,22\approx 3,28\\ \mathrm{N} e a aceleração seria \displaystyle a\approx \frac{3,28}{5}\approx 0,66\\ \mathrm{m/s^{2}}. Isso é só um exercício mental para você entender o que aconteceria se o bloco deslizar.

Resposta

(a) Não, o bloco não desce o plano.
(b) Força de atrito estático f_{s}=24,5\\ \mathrm{N} (direção: para cima ao longo do plano) e aceleração a=0.

Exercícios relacionados