O potencial elétrico em todo o plano x y é V=\frac{36}{\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}}-\frac{45}{\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}} onde V está em volts e x e y estão em metros. Determine a posição e carga das partículas puntiformes que geram esse potencial.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no plano xy
V(x,y)=\frac{36}{\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}}-\frac{45}{\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}},
onde V está em volts e x,y em metros. A tarefa é: determinar a posição e a carga das partículas puntiformes que geram esse potencial.
Informações importantes fornecidas:
  • Há dois termos somados (um com sinal positivo e outro com sinal negativo).
  • O primeiro termo tem denominador \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}.
  • O segundo termo tem denominador \sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}.
  • Os coeficientes numéricos multiplicando os inversos das distâncias são 36 e -45, respectivamente.
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): potencial de uma carga pontual e superposição.
Para uma carga pontual q localizada em \mathbf{r}_0 (no SI) o potencial em um ponto \mathbf{r} é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8,854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}),
  • 1/(4\pi\varepsilon_0) frequentemente é denotado por k (constante coulombiana), com k\approx8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2},
  • q é a carga em coulombs ( \mathrm{C}),
  • |\mathbf{r}-\mathbf{r}_0| é a distância entre o ponto onde eu avalio o potencial e a posição da carga.
    Ponto importante: potenciales se somam (princípio da superposição). Então um potencial total dado por soma de termos da forma constante dividido por uma distância sugere soma de potenciais de cargas puntuais.

Passo 3

Identificação das posições a partir dos denominadores (explicando passo a passo):
  • A distância de um ponto (x,y) até o ponto (-1,0) é \sqrt{(x-(-1))^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}. Então o primeiro termo depende da distância até (-1,0). Logo existe uma carga puntiforme localizada em (-1,0).
  • A distância de (x,y) até (0,2) é \sqrt{(x-0)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}. Então o segundo termo depende da distância até (0,2). Logo existe uma carga puntiforme localizada em (0,2).

Passo 4

Correspondência dos coeficientes com a fórmula do potencial (símbolo k para 1/(4\pi\varepsilon_0)).
Se uma carga q_1 em (-1,0) gera um termo \dfrac{36}{\sqrt{(x+1)^2+y^2}}, então devemos ter
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q_1 = 36.
Chamando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} obtemos simbolicamente
q_1=\frac{36}{k}=36\cdot 4\pi\varepsilon_0.
Analogamente, para a carga q_2 em (0,2), o termo é -\dfrac{45}{\sqrt{x^2+(y-2)^2}}, então
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q_2 = -45
e
q_2=\frac{-45}{k}=-45\cdot 4\pi\varepsilon_0.
Observação sobre o sinal: o sinal negativo à frente do segundo termo indica que q_2 é negativa.

Passo 5

Cálculo numérico aproximado das cargas (usar k\approx 9{,}0\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2} para contas de prova — é comum e rápido de usar).
Com k\approx9{,}0\times10^{9},
q_1=\frac{36}{9{,}0\times10^{9}}=4{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C}.
q_2=\frac{-45}{9{,}0\times10^{9}}=-5{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C}.
Se quiser maior precisão, usando k\approx8{,}99\times10^{9} obtém-se valores muito próximos: q_1\approx4{,}00\times10^{-9}\,\mathrm{C} e q_2\approx-5{,}01\times10^{-9}\,\mathrm{C}. Para a prova, apresentar q_1=4{,}0\\ \mathrm{nC} e q_2=-5{,}0\\ \mathrm{nC} está perfeito.

Passo 6

Interpretação final e checagem mental rápida:
  • Há uma carga positiva em (-1,0) porque seu termo no potencial é positivo. Sua magnitude é 4{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C} (aproximadamente 4{,}0\\ \mathrm{nC}).
  • Há uma carga negativa em (0,2) porque o termo correspondente é negativo. Sua magnitude é 5{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C} (aproximadamente 5{,}0\\ \mathrm{nC}).
    Pronto — isso explica exatamente os dois termos do potencial dado. Força e ânimo: você já sabe fazer esse tipo de identificação direto pela forma do potencial!

Resposta

Partícula em (-1,0): carga 4,0\times10^{-9}\,\mathrm{C}.
Partícula em (0,2): carga -5,0\times10^{-9}\,\mathrm{C}.

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