Um bloco de massa m=2,0 \mathrm{~kg}, inicialmente a 27^{\circ} \mathrm{C}, é aquecido até 127^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o calor específico do material é c = 400 \mathrm{J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e assumindo o processo reversível, a variação de entropia do bloco é aproximadamente:
◯ a) 100 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
◯ b) 200 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
◯ c) 277 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
◯ d) 400 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
◯ e) 800 \mathrm{~J} / \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Massa: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 127^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico (assumido constante): c=400\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • O aquecimento é reversível.
O que o problema pede:
  • A variação de entropia do bloco, \Delta S, durante o aquecimento.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A variação de entropia entre duas temperaturas para um processo reversível é dada por
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Aqui:
  • \Delta S é a variação de entropia (em \mathrm{J/K}).
  • \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente num pequeno passo.
  • T é a temperatura absoluta (em K).
    Para aquecimento de um sólido com calor específico constante c e massa m, o calor reversível diferencial é
\delta Q_{\text{rev}}=m\,c\,\mathrm{d}T.
Portanto a integral fica
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2}\frac{m\,c\,\mathrm{d}T}{T}=m\,c\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T}=m\,c\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explicando as variáveis nesta expressão:
  • m é a massa do corpo ( \mathrm{kg}).
  • c é o calor específico ( \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})).
  • T_1 e T_2 são as temperaturas inicial e final em kelvin (K).
    Essa fórmula é direta e muito usada em provas: integra-se 1/T, que dá \ln T.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin (explicando por que):
Temperaturas em fórmulas termodinâmicas absolutas devem ser em kelvin. A conversão é
T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.
Assim:
T_1=27^\circ\mathrm{C}+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K}\approx300\\ \mathrm{K},
T_2=127^\circ\mathrm{C}+273{,}15=400{,}15\\ \mathrm{K}\approx400\\ \mathrm{K}.
Usar 300\\ \mathrm{K} e 400\\ \mathrm{K} é uma excelente aproximação neste caso e simplifica os cálculos.

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular passo a passo:
Primeiro calcule m\,c:
m\,c = 2{,}0\\ \mathrm{kg}\times 400\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}=800\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}.
Agora a relação de temperaturas (usando as aproximações T_1=300\\ \mathrm{K}, T_2=400\\ \mathrm{K}):
\Delta S = m\,c\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=800\ln\!\left(\frac{400}{300}\right)=800\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Calcule \ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right) com passos:
\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=\ln 4 - \ln 3 \approx 1{,}3862943611 - 1{,}0986122887 = 0{,}2876820724.
Multiplicando:
\Delta S \approx 800\times 0{,}2876820724 \approx 230{,}15\\ \mathrm{J/K}.
Arredondando de forma razoável obtemos \Delta S\approx230\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Comparação com as alternativas e escolha:
O valor calculado \approx230\\ \mathrm{J/K} não aparece exatamente nas alternativas. Das opções dadas, a que mais se aproxima é a alternativa (b) 200\\ \mathrm{J/K} (diferença de \sim30\\ \mathrm{J/K}, enquanto a próxima mais próxima é 277\\ \mathrm{J/K} com diferença maior). Portanto, a resposta escolhida entre as alternativas é a letra (b).
Força aí — deu trabalho, mas a ideia principal é memorizar: para aquecimento reversível com c constante, \Delta S=m c\ln(T_2/T_1). Isso resolve muita questão parecida.

Resposta

b) 200\\ \mathrm{J/K}

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