Um disco de massa 2m e raio R repousa sobre uma mesa horizontal extremamente lisa. Uma bala de massa
, velocidade
e parâmetro de impacto R atinge o disco e engasta nele (Fig. 8.48).
Calcule a velocidade angular do sistema logo após a colisão;
Calcule a velocidade angular do sistema logo após a colisão;
Passo 1
O enunciado dá um disco de massa
e raio
apoiado numa mesa extremamente lisa (sem atrito) e em repouso. Uma bala de massa
desloca‑se horizontalmente com velocidade
num traço paralelo à mesa e com parâmetro de impacto igual a
, e engasta no disco (peguei o valor do parâmetro de impacto
a partir da figura enviada). Pedem a velocidade angular do sistema disco+bala imediatamente após a colisão.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Massa do disco:
. - Raio do disco:
. - Massa da bala:
. - Velocidade inicial da bala:
. - Parâmetro de impacto (distância perpendicular do eixo do disco à reta de movimento da bala):
(ou seja, a bala atinge a borda do disco). - A bala fica presa ao disco (colisão perfeitamente inelástica em termos de aderência).
- Mesa extremamente lisa → sem atrito horizontal.
O que se pede: a velocidade angulardo conjunto disco + bala imediatamente após a colisão.
Passo 2
Qual princípio usar e por quê (sem calcular ainda): a quantidade conservada aqui é o momento angular total em relação ao centro do disco. Explico:
- O momento angular de um sistema em relação a um ponto é conservado se o torque externo em relação a esse ponto for nulo.
- A mesa é extremamente lisa (sem atrito), então não há torque externo horizontal sobre o disco em torno do eixo vertical que passa pelo centro; as forças externas importantes (peso e normal) são verticais e não provocam torque em torno desse eixo. Portanto, podemos aplicar conservação do momento angular em relação ao centro do disco imediatamente antes e imediatamente depois da colisão.
Passo 3
Calcular o momento angular inicial (antes da colisão) em relação ao centro do disco:
Para uma partícula (a bala) que se move com momento linear , o momento angular em relação a um ponto é dado pela magnitude
, onde
é a distância do ponto à linha de ação da velocidade e
é o ângulo entre
e
. No nosso caso a velocidade da bala é horizontal e a distância perpendicular do centro à linha de tiro é
, portanto
e:
Para uma partícula (a bala) que se move com momento linear
(Interpretação física: é simplesmente o braço
vezes o momento linear
.)
Passo 4
Calcular o momento de inércia final do conjunto disco + bala (após a colisão), em torno do mesmo eixo pelo centro:
- Momento de inércia de um disco uniforme de massa
e raio em relação ao seu eixo central é
Aqui
, logo
- A bala, presa na borda do disco (distância
do centro), tem momento de inércia como um ponto de massa a distância :
- Momento de inércia total:
Passo 5
Aplicar conservação do momento angular em relação ao centro: momento angular inicial
momento angular final. O momento angular final do conjunto é
. Assim:
Resolver para
:
Passo 6
Simplificar a expressão obtida (cancelando
e um fator
):
Verificação rápida de coerência: dimensões são de velocidade sobre comprimento →
, correto para velocidade angular. Se
aumenta,
aumenta; se o raio aumenta,
diminui — tudo faz sentido físico.