Um disco de massa 2m e raio R repousa sobre uma mesa horizontal extremamente lisa. Uma bala de massa m, velocidade \mathrm{v}_{0} e parâmetro de impacto R atinge o disco e engasta nele (Fig. 8.48).
Calcule a velocidade angular do sistema logo após a colisão;

Passo 1

O enunciado dá um disco de massa 2m e raio R apoiado numa mesa extremamente lisa (sem atrito) e em repouso. Uma bala de massa m desloca‑se horizontalmente com velocidade \mathrm{v}_{0} num traço paralelo à mesa e com parâmetro de impacto igual a R, e engasta no disco (peguei o valor do parâmetro de impacto R a partir da figura enviada). Pedem a velocidade angular do sistema disco+bala imediatamente após a colisão.
Informações relevantes listadas:
  • Massa do disco: 2m.
  • Raio do disco: R.
  • Massa da bala: m.
  • Velocidade inicial da bala: \mathrm{v}_{0}.
  • Parâmetro de impacto (distância perpendicular do eixo do disco à reta de movimento da bala): R (ou seja, a bala atinge a borda do disco).
  • A bala fica presa ao disco (colisão perfeitamente inelástica em termos de aderência).
  • Mesa extremamente lisa → sem atrito horizontal.
    O que se pede: a velocidade angular \omega do conjunto disco + bala imediatamente após a colisão.

Passo 2

Qual princípio usar e por quê (sem calcular ainda): a quantidade conservada aqui é o momento angular total em relação ao centro do disco. Explico:
  • O momento angular de um sistema em relação a um ponto é conservado se o torque externo em relação a esse ponto for nulo.
  • A mesa é extremamente lisa (sem atrito), então não há torque externo horizontal sobre o disco em torno do eixo vertical que passa pelo centro; as forças externas importantes (peso e normal) são verticais e não provocam torque em torno desse eixo. Portanto, podemos aplicar conservação do momento angular em relação ao centro do disco imediatamente antes e imediatamente depois da colisão.

Passo 3

Calcular o momento angular inicial (antes da colisão) em relação ao centro do disco:
Para uma partícula (a bala) que se move com momento linear \vec{p}=m\vec{v}_{0}, o momento angular em relação a um ponto é dado pela magnitude L = r p \sin\theta, onde r é a distância do ponto à linha de ação da velocidade e \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{p}. No nosso caso a velocidade da bala é horizontal e a distância perpendicular do centro à linha de tiro é R, portanto \sin\theta=1 e:
L_{\text{inicial}} = m\,\mathrm{v}_{0}\,R.
(Interpretação física: é simplesmente o braço R vezes o momento linear m\mathrm{v}_{0}.)

Passo 4

Calcular o momento de inércia final do conjunto disco + bala (após a colisão), em torno do mesmo eixo pelo centro:
  • Momento de inércia de um disco uniforme de massa M e raio R em relação ao seu eixo central é
I_{\text{disco}} = \tfrac{1}{2} M R^{2}.
Aqui M=2m, logo
I_{\text{disco}} = \tfrac{1}{2}\cdot(2m)\,R^{2} = m\,R^{2}.
  • A bala, presa na borda do disco (distância R do centro), tem momento de inércia como um ponto de massa m a distância R:
I_{\text{bala}} = m\,R^{2}.
  • Momento de inércia total:
I_{\text{total}} = I_{\text{disco}} + I_{\text{bala}} = mR^{2} + mR^{2} = 2mR^{2}.

Passo 5

Aplicar conservação do momento angular em relação ao centro: momento angular inicial = momento angular final. O momento angular final do conjunto é L_{\text{final}} = I_{\text{total}}\,\omega. Assim:
m\,\mathrm{v}_{0}\,R = I_{\text{total}}\,\omega = \bigl(2mR^{2}\bigr)\,\omega.
Resolver para \omega:
\omega = \frac{m\,\mathrm{v}_{0}\,R}{2mR^{2}}.

Passo 6

Simplificar a expressão obtida (cancelando m e um fator R):
\omega = \frac{\mathrm{v}_{0}}{2R}.
Verificação rápida de coerência: dimensões são de velocidade sobre comprimento → \mathrm{s}^{-1}, correto para velocidade angular. Se \mathrm{v}_{0} aumenta, \omega aumenta; se o raio aumenta, \omega diminui — tudo faz sentido físico.

Resposta

\omega=\frac{\mathrm{v}_{0}}{2R}

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