Um bloco
repousa sobre um plano inclinado sem atrito, com ângulo
. Ele está conectado por um fio leve e inextensível que passa por uma polia ideal a um segundo bloco
, que está suspenso verticalmente. A) Desenhe o sistema (mostrando as forças presentes). B) Determine a aceleração do sistema (assuma que
desliza para baixo). C) Calcule a tensão no fio.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
- Pedidos: (A) desenhar o sistema mostrando as forças; (B) determinar a aceleração do sistema (assumindo que
desliza para baixo); (C) calcular a tensão no fio.\n - Dados numéricos fornecidos:
, , . O plano é sem atrito e a polia é ideal (fio leve e inextensível).\n - Observação necessária: o enunciado não deu
. Vou assumir o valor usual para calcular números.\n
Passo 2
Descrever o desenho do sistema e listar as forças (isso equivale ao pedido (A)).\n
Descrição do desenho (faça um rabisco assim na prova): um plano inclinado com ângulo . Sobre o plano, o bloco
ligado por um fio que passa por uma polia no topo do plano a um bloco
que fica pendurado verticalmente. Indique no fio a mesma tensão
atuando em cada bloco ao longo do fio.\n
Forças sobre (coloque um diagrama de corpo livre do bloco sobre o plano):\n
Descrição do desenho (faça um rabisco assim na prova): um plano inclinado com ângulo
Forças sobre
- Peso:
apontando vertical para baixo. Em componentes relativas ao plano, a componente paralela ao plano é apontando para baixo do plano; a componente perpendicular é .\n - Normal:
perpendicular ao plano, com magnitude (porque não há aceleração perpendicular ao plano).\n - Tensão:
ao longo do fio, dirigida para cima do plano (isto é, oposta ao movimento de se desce).\n
Forças sobre(diagrama de corpo livre do bloco pendurado):\n - Peso:
para baixo, magnitude .\n - Tensão:
para cima (mesma do fio, porque a polia é ideal e o fio é leve e inextensível).\n
Passo 3
Escolha de eixos e convenções de sinal. Explicação do método (aula rápida sobre Newton):\n
- Newton: a segunda lei diz que a soma das forças resultantes numa direção escolhida é igual à massa multiplicada pela aceleração nessa direção, isto é
. Aqui cada massa tem aceleração de mesma magnitude porque o fio é inextensível.\n - Convenção de sinais: para
tomo direção positiva como “para baixo ao longo do plano” (já que o enunciado pede assumir que desliza para baixo). Para tomo direção positiva como “para cima” (isto combina com o movimento oposto de quando desce).\n - Com essa escolha, a componente de
que tende a fazer descer é positiva; a tensão age contrária, negativa para . Para , a tensão é positiva (para cima) e o peso é negativo.\n
Passo 4
Escrever as equações de Newton para cada bloco (aula sobre decomposição de forças e montagem de equações):\n
Para
(direção ao longo do plano, positiva para baixo):\n
\n
Explicação: a soma das forças paralelas ao plano é a componente do peso que puxa para baixo
menos a tensão
que puxa para cima; isso resulta na massa vezes a aceleração
.\n
Para
(direção vertical, positiva para cima):\n
\n
Explicação: a tensão puxa para cima, o peso puxa para baixo; a diferença dá
. Note que o mesmo
aparece nas duas equações (mesma magnitude, sinais escolhidos de forma consistente).\n
Passo 5
Eliminar a tensão e obter uma fórmula para a aceleração
(aula sobre eliminação de incógnitas):\n
Somamos as duas equações para eliminar
:\n
\n
No lado esquerdo
cancela, ficando\n
\n
Isolando
:\n
\n
Essa é a fórmula geral para este sistema sem atrito, com
sobre plano inclinado e
pendurado.\n
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular
passo a passo (faça as contas na prova sem calculadora usando aproximações simples):\n
Primeiro calcule
para
. Usamos a aproximação comum\n
\n
Agora calcule
:\n
\n
Subtraia
:\n
\n
Multiplique por
:\n
\n
Divida por
:\n
\n
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:\n
\n
Interpretação: esse valor positivo confirma que a suposição de que
desce está correta (se desse negativo, significaria que
sobe).\n
Passo 7
Calcular a tensão
no fio (duas formas de verificação; aula sobre usar uma equação para obter a outra incógnita):\n
Método 1 — usar a equação de
:\n
\n
Substituindo
,
,
:\n
\n
Arredondando:\n
\n
Verificação (método 2) — usar a equação de
:\n
\n
Substituindo valores:
e
, então\n
\nque bate com o resultado anterior (diferenças pequenas por arredondamento). Isso confirma que o cálculo está consistente.\n
Resposta
(A) Diagrama:
sobre o plano inclinado com forças
(peso, decompor em
paralelo e
perpendicular), normal
perpendicular ao plano, e tensão
ao longo do fio subindo o plano;
pendurado com peso
para baixo e tensão
para cima.\n
(B) .\n
(C) .
(B)
(C)