Um bloco \mathrm{M}_{1}=3,0 \mathrm{~kg} repousa sobre um plano inclinado sem atrito, com ângulo \theta=37^{\circ}. Ele está conectado por um fio leve e inextensível que passa por uma polia ideal a um segundo bloco \mathrm{M}_{2}=1,0 \mathrm{~kg}, que está suspenso verticalmente. A) Desenhe o sistema (mostrando as forças presentes). B) Determine a aceleração do sistema (assuma que \mathrm{M}_{1} desliza para baixo). C) Calcule a tensão no fio.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
  • Pedidos: (A) desenhar o sistema mostrando as forças; (B) determinar a aceleração do sistema (assumindo que M_1 desliza para baixo); (C) calcular a tensão no fio.\n
  • Dados numéricos fornecidos: M_1=3{,}0\\ \mathrm{kg}, M_2=1{,}0\\ \mathrm{kg}, \theta=37^\circ. O plano é sem atrito e a polia é ideal (fio leve e inextensível).\n
  • Observação necessária: o enunciado não deu g. Vou assumir o valor usual g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} para calcular números.\n

Passo 2

Descrever o desenho do sistema e listar as forças (isso equivale ao pedido (A)).\n
Descrição do desenho (faça um rabisco assim na prova): um plano inclinado com ângulo \theta. Sobre o plano, o bloco M_1 ligado por um fio que passa por uma polia no topo do plano a um bloco M_2 que fica pendurado verticalmente. Indique no fio a mesma tensão T atuando em cada bloco ao longo do fio.\n
Forças sobre M_1 (coloque um diagrama de corpo livre do bloco sobre o plano):\n
  • Peso: \vec{P}_1 = M_1 \vec{g} apontando vertical para baixo. Em componentes relativas ao plano, a componente paralela ao plano é M_1 g \sin\theta apontando para baixo do plano; a componente perpendicular é M_1 g \cos\theta.\n
  • Normal: \vec{N} perpendicular ao plano, com magnitude N = M_1 g \cos\theta (porque não há aceleração perpendicular ao plano).\n
  • Tensão: \vec{T} ao longo do fio, dirigida para cima do plano (isto é, oposta ao movimento de M_1 se M_1 desce).\n
    Forças sobre M_2 (diagrama de corpo livre do bloco pendurado):\n
  • Peso: \vec{P}_2 = M_2 \vec{g} para baixo, magnitude M_2 g.\n
  • Tensão: \vec{T} para cima (mesma T do fio, porque a polia é ideal e o fio é leve e inextensível).\n

Passo 3

Escolha de eixos e convenções de sinal. Explicação do método (aula rápida sobre Newton):\n
  • Newton: a segunda lei diz que a soma das forças resultantes numa direção escolhida é igual à massa multiplicada pela aceleração nessa direção, isto é \sum F = ma. Aqui cada massa tem aceleração de mesma magnitude a porque o fio é inextensível.\n
  • Convenção de sinais: para M_1 tomo direção positiva como “para baixo ao longo do plano” (já que o enunciado pede assumir que M_1 desliza para baixo). Para M_2 tomo direção positiva como “para cima” (isto combina com o movimento oposto de M_2 quando M_1 desce).\n
  • Com essa escolha, a componente de \vec{P}_1 que tende a fazer M_1 descer é M_1 g \sin\theta positiva; a tensão T age contrária, negativa para M_1. Para M_2, a tensão T é positiva (para cima) e o peso M_2 g é negativo.\n

Passo 4

Escrever as equações de Newton para cada bloco (aula sobre decomposição de forças e montagem de equações):\n
Para M_1 (direção ao longo do plano, positiva para baixo):\n M_1 g \sin\theta - T = M_1 a.\n
Explicação: a soma das forças paralelas ao plano é a componente do peso que puxa para baixo M_1 g \sin\theta menos a tensão T que puxa para cima; isso resulta na massa vezes a aceleração M_1 a.\n
Para M_2 (direção vertical, positiva para cima):\n T - M_2 g = M_2 a.\n
Explicação: a tensão puxa para cima, o peso puxa para baixo; a diferença dá M_2 a. Note que o mesmo a aparece nas duas equações (mesma magnitude, sinais escolhidos de forma consistente).\n

Passo 5

Eliminar a tensão e obter uma fórmula para a aceleração a (aula sobre eliminação de incógnitas):\n
Somamos as duas equações para eliminar T:\n (M_1 g \sin\theta - T) + (T - M_2 g) = M_1 a + M_2 a.\n
No lado esquerdo T cancela, ficando\n M_1 g \sin\theta - M_2 g = (M_1 + M_2) a.\n
Isolando a:\n a = \frac{(M_1 \sin\theta - M_2)\,g}{M_1 + M_2}.\n
Essa é a fórmula geral para este sistema sem atrito, com M_1 sobre plano inclinado e M_2 pendurado.\n

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular a passo a passo (faça as contas na prova sem calculadora usando aproximações simples):\n
Primeiro calcule \sin\theta para \theta=37^\circ. Usamos a aproximação comum\n \sin 37^\circ \approx 0{,}6018.\n
Agora calcule M_1 \sin\theta:\n M_1 \sin\theta = 3{,}0 \times 0{,}6018 \approx 1{,}8054.\n
Subtraia M_2:\n M_1 \sin\theta - M_2 \approx 1{,}8054 - 1{,}0 = 0{,}8054.\n
Multiplique por g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:\n 0{,}8054 \times 9{,}8 \approx 7{,}895.\n
Divida por M_1+M_2 = 3{,}0 + 1{,}0 = 4{,}0:\n a \approx \frac{7{,}895}{4{,}0} \approx 1{,}97375\\ \mathrm{m/s^2}.\n
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:\n a \approx 1{,}97\\ \mathrm{m/s^2}.\n
Interpretação: esse valor positivo confirma que a suposição de que M_1 desce está correta (se desse negativo, significaria que M_1 sobe).\n

Passo 7

Calcular a tensão T no fio (duas formas de verificação; aula sobre usar uma equação para obter a outra incógnita):\n
Método 1 — usar a equação de M_2:\n T - M_2 g = M_2 a \quad\Rightarrow\quad T = M_2(g + a).\n
Substituindo M_2=1{,}0\\ \mathrm{kg}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, a\approx1{,}97375\\ \mathrm{m/s^2}:\n T \approx 1{,}0 \times (9{,}8 + 1{,}97375) \approx 11{,}77375\\ \mathrm{N}.\n
Arredondando:\n T \approx 11{,}77\\ \mathrm{N}.\n
Verificação (método 2) — usar a equação de M_1:\n T = M_1 g \sin\theta - M_1 a.\n
Substituindo valores: M_1 g \sin\theta \approx 3{,}0 \times 9{,}8 \times 0{,}6018 \approx 17{,}693 e M_1 a \approx 3{,}0 \times 1{,}97375 \approx 5{,}921, então\n T \approx 17{,}693 - 5{,}921 \approx 11{,}772\\ \mathrm{N},\nque bate com o resultado anterior (diferenças pequenas por arredondamento). Isso confirma que o cálculo está consistente.\n

Resposta

(A) Diagrama: M_1 sobre o plano inclinado com forças M_1 g (peso, decompor em M_1 g\sin\theta paralelo e M_1 g\cos\theta perpendicular), normal N perpendicular ao plano, e tensão T ao longo do fio subindo o plano; M_2 pendurado com peso M_2 g para baixo e tensão T para cima.\n
(B) a \approx 1{,}97\\ \mathrm{m/s^2}.\n
(C) T \approx 11{,}77\\ \mathrm{N}.

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