Um bloco de metal desliza em uma superfície horizontal que foi lubrificada com óleo. A força resitiva é dada por F(v)=-c v^{3 / 2}. Se a velocidade inicial do bloco é v_{0} em \mathrm{x}=0, mostre que o bloco não pode se mover mais rápido que \frac{2 m v_{0}^{1 / 2}}{c}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Massa do bloco: m.
  • Força resistente (devido ao óleo) dependente da velocidade: F(v)=-c\,v^{3/2}, com c>0.
  • Condição inicial: a velocidade no ponto x=0 é v(0)=v_{0}>0.
O que o enunciado pede: mostrar que o bloco não pode avançar além de um deslocamento máximo
x_{\max}=\frac{2m\,v_{0}^{1/2}}{c}.
Em outras palavras, mostrar que o bloco para em x=x_{\max} e não pode chegar a x>x_{\max}.

Passo 2

Vamos escrever a segunda lei de Newton aplicada ao movimento do bloco. A equação de movimento é
m\frac{dv}{dt}=F(v)=-c\,v^{3/2}.
Para ligar velocidade e posição é conveniente usar a regra da cadeia que expressa \frac{dv}{dt} em termos de \frac{dv}{dx}. A razão é:
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot v,
porque \frac{dx}{dt}=v. Essa é uma técnica muito comum: transformar a equação em uma equação diferencial em v versus x quando a força depende só de v.
Substituindo na segunda lei:
m\;v\;\frac{dv}{dx}=-c\,v^{3/2}.

Passo 3

Simplificamos a equação anterior. Enquanto o bloco estiver em movimento temos v>0, então podemos dividir ambos os lados por v (justificando: v não é zero até o instante de parada):
m\frac{dv}{dx}=-c\,v^{1/2}.
Agora separamos variáveis para integrar em v e x. Escrevemos
\frac{dv}{v^{1/2}}=-\frac{c}{m}\,dx.
Integramos ambos os lados; do lado esquerdo usamos a primitiva de v^{-1/2}, que é 2v^{1/2}. Integramos de v_0 até v(x) e de 0 até x:
\int_{v_0}^{v(x)} v^{-1/2}\,dv = -\frac{c}{m}\int_{0}^{x} dx.
Calculando as integrais obtemos
2\bigl(v(x)^{1/2}-v_0^{1/2}\bigr)=-\frac{c}{m}\,x.

Passo 4

Isolamos v(x)^{1/2}:
v(x)^{1/2}=v_0^{1/2}-\frac{c}{2m}\,x.
Elevando ao quadrado (lembrando que, enquanto o bloco se move, tomamos o ramo positivo da raiz) tem-se a expressão explícita
v(x)=\Bigl(v_0^{1/2}-\frac{c}{2m}\,x\Bigr)^{2},
válida enquanto o conteúdo entre parênteses for não-negativo (isto é, enquanto v\ge0).

Passo 5

A velocidade chega a zero quando o termo dentro do parêntese for zero. Assim o ponto de parada x_{\max} é dado por
v_0^{1/2}-\frac{c}{2m}\,x_{\max}=0.
Resolvendo para x_{\max}:
x_{\max}=\frac{2m\,v_0^{1/2}}{c}.

Passo 6

Interpretação física e conclusão final: para 0\le x\le x_{\max} a velocidade é dada por \bigl(v_0^{1/2}-\tfrac{c}{2m}x\bigr)^2, uma função positiva e decrescente de x. Em x=x_{\max} a velocidade é zero e, sem outras forças que deem energia ao bloco, ele não pode continuar se deslocando para x>x_{\max}. Logo o deslocamento máximo é exatamente x_{\max}=\dfrac{2m\,v_0^{1/2}}{c}.

Resposta

x_{\max}=\frac{2m\,v_{0}^{1/2}}{c}

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