Um bloco de metal desliza em uma superfície horizontal que foi lubrificada com óleo. A força resitiva é dada por
. Se a velocidade inicial do bloco é
em
, mostre que o bloco não pode se mover mais rápido que
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Massa do bloco:
. - Força resistente (devido ao óleo) dependente da velocidade:
, com . - Condição inicial: a velocidade no ponto
é .
O que o enunciado pede: mostrar que o bloco não pode avançar além de um deslocamento máximo
Em outras palavras, mostrar que o bloco para em
e não pode chegar a
.
Passo 2
Vamos escrever a segunda lei de Newton aplicada ao movimento do bloco. A equação de movimento é
Para ligar velocidade e posição é conveniente usar a regra da cadeia que expressa
em termos de
. A razão é:
porque
. Essa é uma técnica muito comum: transformar a equação em uma equação diferencial em
versus
quando a força depende só de
.
Substituindo na segunda lei:
Passo 3
Simplificamos a equação anterior. Enquanto o bloco estiver em movimento temos
, então podemos dividir ambos os lados por
(justificando:
não é zero até o instante de parada):
Agora separamos variáveis para integrar em
e
. Escrevemos
Integramos ambos os lados; do lado esquerdo usamos a primitiva de
, que é
. Integramos de
até
e de
até
:
Calculando as integrais obtemos
Passo 4
Isolamos
:
Elevando ao quadrado (lembrando que, enquanto o bloco se move, tomamos o ramo positivo da raiz) tem-se a expressão explícita
válida enquanto o conteúdo entre parênteses for não-negativo (isto é, enquanto
).
Passo 5
A velocidade chega a zero quando o termo dentro do parêntese for zero. Assim o ponto de parada
é dado por
Resolvendo para
:
Passo 6
Interpretação física e conclusão final: para
a velocidade é dada por
, uma função positiva e decrescente de
. Em
a velocidade é zero e, sem outras forças que deem energia ao bloco, ele não pode continuar se deslocando para
. Logo o deslocamento máximo é exatamente
.