Uma bola é jogada para cima de uma altura de 1,6 m acima do solo.
Sabendo que a altura máxima atingida pela bola é de 2,4 m (contados a partir do solo), calcule a velocidade inicial dessa bola;

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
  • A altura inicial da bola em relação ao solo é y_0 = 1,6\\ \text{m}.
  • A altura máxima atingida é y_{\max} = 2,4\\ \text{m}.
    O que o problema pede:
  • Calcular a velocidade inicial v_0 com que a bola foi arremessada para cima.

Passo 2

Escolha de sinais e dados numéricos:
  • Vou tomar para cima o sentido positivo. Nesse sentido, a aceleração devido à gravidade é \,a = -g.
  • Vou usar o valor usual da aceleração da gravidade perto da superfície: g = 9,8\\ \text{m/s}^2.
  • A variação de altura entre o ponto inicial e o ponto de máximo é \Delta y = y_{\max}-y_0. Aqui \Delta y > 0 porque o máximo fica acima do ponto de partida.

Passo 3

Apresentação da equação cinemática que vamos usar (e derivação curta para lembrar de onde vem):
  • Para movimento com aceleração constante temos as duas equações básicas:
v = v_0 + a t
e
y = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
  • Eliminando o tempo t entre essas duas equações obtemos a relação que liga velocidades e deslocamento vertical:
v^2 = v_0^2 + 2 a (y - y_0).
Explicando a derivação de forma bem direta: isolando t em v = v_0 + a t temos t = \dfrac{v-v_0}{a}. Substituindo em y = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 e simplificando chega-se a v^2 = v_0^2 + 2 a (y-y_0). Essa é uma fórmula padrão e muito útil quando não sabemos o tempo.

Passo 4

Aplicação ao ponto de altura máxima:
  • No ponto de altura máxima a velocidade instantânea é zero, ou seja v = 0.
  • Substituindo na equação v^2 = v_0^2 + 2 a (y - y_0) com v=0, a=-g e y-y_0=\Delta y, obtemos
0 = v_0^2 + 2(-g)\Delta y.
  • Isolando v_0^2 vem
v_0^2 = 2 g \,\Delta y.

Passo 5

Calcular \Delta y e substituir valores numéricos:
  • A diferença de alturas é
\Delta y = y_{\max}-y_0 = 2,4 - 1,6 = 0,8\\ \text{m}.
  • Substituindo em v_0^2 = 2 g \Delta y com g = 9,8\\ \text{m/s}^2:
v_0^2 = 2\cdot 9,8 \cdot 0,8 = 19,6 \cdot 0,8 = 15,68\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
  • Portanto
v_0 = \sqrt{15,68}\\ \text{m/s}.

Passo 6

Comentário didático e método alternativo (energia), para fixar a ideia:
  • Uma maneira alternativa, mais conceitual, é usar conservação de energia (semi-intuitiva): a energia cinética inicial \tfrac{1}{2}mv_0^2 é totalmente convertida em diferença de energia potencial m g \Delta y no ponto mais alto, o que dá a mesma fórmula
\tfrac{1}{2}m v_0^2 = m g \Delta y \quad\Rightarrow\quad v_0^2 = 2 g \Delta y.
  • Isso confirma que o procedimento e a fórmula aplicados estão corretos.

Resposta

v_0 = 3,96\\ \text{m/s}

Exercícios relacionados