(Cálculo Aplicado à 2^{\mathrm{a}} Lei) Uma partícula de massa m=4,0 \mathrm{~kg} encontra-se inicialmente em repouso na origem. Para t>0, atua sobre ela uma única força horizontal cujo módulo varia com o tempo segundo a lei F(t)=12 t^{2} (em Newtons, com t em segundos). Qual será a velocidade escalar exata da partícula decorridos t=2,0 s ?
a) 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c) 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d) 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e) 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Massa da partícula: m=4,0\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial: v(0)=0 (a partícula está inicialmente em repouso).
  • Força horizontal aplicada para t>0: F(t)=12\,t^{2} (em newtons, com t em segundos).
  • Pergunta: qual a velocidade escalar exata da partícula decorridos t=2,0\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Relação física básica (Segunda Lei de Newton) e interpretação das variáveis.
A Segunda Lei de Newton diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
F(t)=m\,a(t).
Aqui:
  • F(t) é a força resultante no instante t (em newtons),
  • m é a massa (em quilogramas),
  • a(t) é a aceleração no instante t (em \mathrm{m/s^{2}}).
Isolando a(t) obtemos:
a(t)=\frac{F(t)}{m}.
Substituindo F(t)=12\,t^{2} e m=4,0:
a(t)=\frac{12\,t^{2}}{4,0}=3\,t^{2}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Explicação: dividir a força pela massa transforma a variação de força em aceleração; aqui a aceleração cresce como t^{2}.

Passo 3

Relacionar aceleração com velocidade e montar a integral para obter v(t).
Por definição, aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Assim, para obter a velocidade a partir da aceleração, integrámos no tempo. Usando a condição inicial v(0)=0, temos a fórmula integral:
v(t)-v(0)=\int_{0}^{t} a(s)\,ds.
Como v(0)=0, isso vira
v(t)=\int_{0}^{t} a(s)\,ds.
Aqui usei uma variável de integração distinta, s, para não confundir com o limite superior t.

Passo 4

Calcular v(2,0) fazendo a integral explícita.
Substituindo a(s)=3\,s^{2} na integral e tomando t=2,0:
v(2,0)=\int_{0}^{2,0} 3\,s^{2}\,ds.
Calcular a primitiva: \displaystyle \int 3\,s^{2}\,ds = s^{3}. Portanto,
v(2,0)=\Big[s^{3}\Big]_{0}^{2,0}=(2,0)^{3}-0^{3}=8,0\quad(\mathrm{m/s}).
Interpretação de unidades: como a aceleração estava em \mathrm{m/s^{2}} e integramos em segundos, o resultado está em \mathrm{m/s}, que é unidade de velocidade.

Passo 5

Observações finais e cheque rápido.
  • A força é positiva (para a direita), logo a velocidade adquirida tem direção positiva; como o enunciado pede a velocidade escalar, usamos o valor positivo.
  • Resultado obtido: 8,0\\ \mathrm{m/s}, que corresponde à alternativa (d).
  • Força constante seria caso especial em que a seria constante e a integração seria trivial; aqui a força varia com t, por isso integramos a função de t.

Resposta

d) 8\\ \mathrm{m/s}

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