(Cálculo Aplicado à
Lei) Uma partícula de massa
encontra-se inicialmente em repouso na origem. Para
, atua sobre ela uma única força horizontal cujo módulo varia com o tempo segundo a lei
(em Newtons, com
em segundos). Qual será a velocidade escalar exata da partícula decorridos
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Massa da partícula:
. - Velocidade inicial:
(a partícula está inicialmente em repouso). - Força horizontal aplicada para
: (em newtons, com em segundos). - Pergunta: qual a velocidade escalar exata da partícula decorridos
?
Passo 2
Relação física básica (Segunda Lei de Newton) e interpretação das variáveis.
A Segunda Lei de Newton diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui:
-
é a força resultante no instante (em newtons), -
é a massa (em quilogramas), -
é a aceleração no instante (em ).
Isolando
obtemos:
Substituindo
e
:
Explicação: dividir a força pela massa transforma a variação de força em aceleração; aqui a aceleração cresce como
.
Passo 3
Relacionar aceleração com velocidade e montar a integral para obter
.
Por definição, aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Assim, para obter a velocidade a partir da aceleração, integrámos no tempo. Usando a condição inicial
, temos a fórmula integral:
Como
, isso vira
Aqui usei uma variável de integração distinta,
, para não confundir com o limite superior
.
Passo 4
Calcular
fazendo a integral explícita.
Substituindo
na integral e tomando
:
Calcular a primitiva:
. Portanto,
Interpretação de unidades: como a aceleração estava em
e integramos em segundos, o resultado está em
, que é unidade de velocidade.
Passo 5
Observações finais e cheque rápido.
- A força é positiva (para a direita), logo a velocidade adquirida tem direção positiva; como o enunciado pede a velocidade escalar, usamos o valor positivo.
- Resultado obtido:
, que corresponde à alternativa (d). - Força constante seria caso especial em que
seria constante e a integração seria trivial; aqui a força varia com , por isso integramos a função de .
Resposta
d)