Nota: Adote a aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze a resistência do ar, exceto quando especificado em contrário.
(Pêndulo Cônico) Numa exibição de laboratório, uma pequena esfera de massa m fixada a um fio ideal de comprimento L desenha um círculo de raio constante no plano horizontal, operando a uma velocidade angular \omega fixa. Como resultado, o fio faz um ângulo \theta de deflexão com o eixo vertical. A equação que define corretamente a tração mecânica T suportada pelo fio é:
a) T=m g \sin \theta
b) T=m g \cos \theta
c) T=m g \tan \theta
d) T=\frac{m g}{\sin \theta}
e) T=\frac{m g}{\cos \theta}

Passo 1

O enunciado nos dá uma pequena esfera de massa m presa a um fio ideal de comprimento L. A esfera descreve um círculo horizontal de raio constante, com velocidade angular fixa \omega. O fio fica inclinado de um ângulo \theta em relação à vertical. A resistência do ar é desprezada e a gravidade vale g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (dado).
O que o enunciado pede: escolher, entre as alternativas dadas, a expressão correta para a tração T no fio.
Informações relevantes fornecidas:
  • massa: m;
  • comprimento do fio: L;
  • ângulo do fio com a vertical: \theta;
  • velocidade angular da esfera: \omega (constante);
  • raio do círculo descrito: r (relacionado a L e \theta);
  • gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • desprezar resistência do ar.

Passo 2

Entendendo as forças e a geometria (desenho mental do corpo-livre). Na esfera atuam duas forças principais:
  • o peso, vertical para baixo, de módulo mg;
  • a tração do fio, na direção do fio, de módulo T.
Como a partícula descreve um movimento circular horizontal a altura constante, não há aceleração vertical média: a componente vertical da aceleração é zero. Isso implica que as componentes verticais das forças se equilibram. Vamos decompor a tração em componentes vertical e horizontal.
Definição de componentes da tração:
  • componente vertical (para cima): T\cos\theta;
  • componente horizontal (radial, para o centro do círculo): T\sin\theta.

Passo 3

Equilíbrio vertical (não há aceleração vertical). Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad T\cos\theta - mg = 0.
Isolando T:
T\cos\theta = mg \quad\Rightarrow\quad T = \frac{mg}{\cos\theta}.
Essa é uma expressão direta para a tração obtida do equilíbrio vertical — já aparece entre as alternativas (alternativa e).

Passo 4

Verificação pela componente horizontal (força centrípeta). A componente horizontal da tração fornece a força centrípeta que mantém o movimento circular:
T\sin\theta = m a_{\text{centrípeta}}.í
Para um movimento com velocidade angular \omega, a aceleração centrípeta tem magnitude a_{\text{centrípeta}}=\omega^{2} rí, onde r é o raio do círculo. Aqui o raio do movimento horizontal é dado por
r = L\sin\theta.
Portanto:
T\sin\theta = m \omega^{2} (L\sin\theta).
Se \sin\theta\neq 0, pode-se cancelar \sin\theta dos dois lados, obtendo
T = m \omega^{2} L.
As duas expressões que encontramos ( T=\dfrac{mg}{\cos\theta} do equilíbrio vertical e T=m\omega^{2}L do equilíbrio horizontal) são compatíveis somente se a velocidade angular \omega e o ângulo \theta satisfizerem a relação correspondente. Mas para a tração isolada, a expressão correta, diretamente do equilíbrio vertical, é T=\dfrac{mg}{\cos\theta}.

Passo 5

Comparação com as alternativas e comentários rápidos:
  • a) T=mg\sin\theta — incorreto (essa seria a componente horizontal se igualada a mg, o que não é o caso).
  • b) T=mg\cos\theta — incorreto (essa é a componente vertical T\cos\theta, não T).
  • c) T=mg\tan\theta — incorreto (não corresponde a nenhuma equação correta aqui).
  • d) T=\dfrac{mg}{\sin\theta} — incorreto.
  • e) T=\dfrac{mg}{\cos\theta} — correto, obtido do equilíbrio vertical T\cos\theta=mg.

Resposta

e) \displaystyle T=\frac{m g}{\cos \theta}

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