Nota: Adote a aceleração da gravidade
e despreze a resistência do ar, exceto quando especificado em contrário.
(Pêndulo Cônico) Numa exibição de laboratório, uma pequena esfera de massa
fixada a um fio ideal de comprimento
desenha um círculo de raio constante no plano horizontal, operando a uma velocidade angular
fixa. Como resultado, o fio faz um ângulo
de deflexão com o eixo vertical. A equação que define corretamente a tração mecânica
suportada pelo fio é:
a)
b)
c)
d)
e)
(Pêndulo Cônico) Numa exibição de laboratório, uma pequena esfera de massa
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá uma pequena esfera de massa
presa a um fio ideal de comprimento
. A esfera descreve um círculo horizontal de raio constante, com velocidade angular fixa
. O fio fica inclinado de um ângulo
em relação à vertical. A resistência do ar é desprezada e a gravidade vale
(dado).
O que o enunciado pede: escolher, entre as alternativas dadas, a expressão correta para a tração no fio.
O que o enunciado pede: escolher, entre as alternativas dadas, a expressão correta para a tração
Informações relevantes fornecidas:
- massa:
; - comprimento do fio:
; - ângulo do fio com a vertical:
; - velocidade angular da esfera:
(constante); - raio do círculo descrito:
(relacionado a e ); - gravidade:
; - desprezar resistência do ar.
Passo 2
Entendendo as forças e a geometria (desenho mental do corpo-livre). Na esfera atuam duas forças principais:
- o peso, vertical para baixo, de módulo
; - a tração do fio, na direção do fio, de módulo
.
Como a partícula descreve um movimento circular horizontal a altura constante, não há aceleração vertical média: a componente vertical da aceleração é zero. Isso implica que as componentes verticais das forças se equilibram. Vamos decompor a tração em componentes vertical e horizontal.
Definição de componentes da tração:
- componente vertical (para cima):
; - componente horizontal (radial, para o centro do círculo):
.
Passo 3
Equilíbrio vertical (não há aceleração vertical). Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical:
Isolando
:
Essa é uma expressão direta para a tração obtida do equilíbrio vertical — já aparece entre as alternativas (alternativa e).
Passo 4
Verificação pela componente horizontal (força centrípeta). A componente horizontal da tração fornece a força centrípeta que mantém o movimento circular:
Para um movimento com velocidade angular
, a aceleração centrípeta tem magnitude
, onde
é o raio do círculo. Aqui o raio do movimento horizontal é dado por
Portanto:
Se
, pode-se cancelar
dos dois lados, obtendo
As duas expressões que encontramos (
do equilíbrio vertical e
do equilíbrio horizontal) são compatíveis somente se a velocidade angular
e o ângulo
satisfizerem a relação correspondente. Mas para a tração isolada, a expressão correta, diretamente do equilíbrio vertical, é
.
Passo 5
Comparação com as alternativas e comentários rápidos:
- a)
— incorreto (essa seria a componente horizontal se igualada a , o que não é o caso). - b)
— incorreto (essa é a componente vertical , não ). - c)
— incorreto (não corresponde a nenhuma equação correta aqui). - d)
— incorreto. - e)
— correto, obtido do equilíbrio vertical .
Resposta
e)