• Um bloco metálico de 10 kg é solto a 5 m de altura acima de um tanque com 20 kg de água.
  • Água e bloco estão inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}.
  • O bloco cai, entra na água e todo o movimento é amortecido, sem respingos.
  • Considere o sistema: bloco + água + tanque
  • Não há transferência de calor com o ambiente (\mathrm{Q}=0) nem trabalho de eixo ( W=0 ).
  • Variações de energia cinética finais são desprezíveis (vfinal \approx 0 ).
  • Use \Delta \mathrm{U}+\Delta \mathrm{Ec}+\Delta \mathrm{Ep}=\mathrm{Q}+\mathrm{W} para determinar a temperatura final do sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para determinar a temperatura final do sistema bloco + água + tanque:
  • Massa do bloco metálico: m_b=10\\ \mathrm{kg}.
  • Altura de onde o bloco é solto: h=5\\ \mathrm{m}.
  • Massa da água: m_w=20\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do conjunto: T_i=20^\circ\mathrm{C}.
  • Não há troca de calor com o ambiente: Q=0.
  • Não há trabalho de eixo: W=0.
  • Variações finais de energia cinética desprezíveis: E_{c,\text{final}}\approx 0.
  • Todo o movimento é amortecido dentro da água e a energia mecânica perdida vira energia interna do sistema (aquecimento).
    Observações importantes que surgem do enunciado (não posso perguntar nada, então faço uma escolha razoável):
  • O enunciado não dá a capacidade térmica (calor específico) do bloco metálico nem do tanque. Vou considerar que o tanque tem calor específico desprezível (ou sua massa é pequena) e que o bloco é um metal comum (aço) com calor específico típico c_b=450\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Para a água uso o valor padrão c_w=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Usarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
    Se você quisesse usar outro valor para c_b (por exemplo, alumínio ou cobre) dá para recalcular substituindo esse número no mesmo procedimento.

Passo 2

Escrevendo a conservação de energia solicitada: \Delta U+\Delta E_c+\Delta E_p=Q+W.
  • Como Q=0 e W=0 e \Delta E_c\approx 0, temos apenas conversão de energia potencial gravitacional em energia interna:
\Delta U = -\Delta E_p.
  • A variação de energia potencial do bloco ao cair é \Delta E_p = -m_b g h (negativa porque o bloco perde energia potencial). Portanto a energia que entra como calor interno no sistema é
\Delta U = m_b g h.
Explicando: m_b g h é a energia mecânica liberada quando o bloco desce e essa energia aumenta a energia interna (aquecimento) do sistema.

Passo 3

Relação entre variação de energia interna e variação de temperatura:
  • Para um corpo com massa m e calor específico (massa específica de calor) c, a variação de energia interna associada a uma variação de temperatura \Delta T é
\Delta U = m c \Delta T,
onde \Delta T = T_f - T_i.
  • No nosso sistema, consideramos que a energia liberada m_b g h aquece o bloco e a água (e não há outras perdas). Então:
m_b c_b (T_f-T_i) + m_w c_w (T_f-T_i) = m_b g h.
Factor comum (T_f-T_i):
(T_f-T_i)\bigl(m_b c_b + m_w c_w\bigr) = m_b g h.
Explicando de forma simples: o aumento total de energia interna do bloco + água é a soma dos aumentos individuais, e essa soma é igual à energia que veio da queda.

Passo 4

Isolando T_f da equação:
T_f - T_i = \frac{m_b g h}{m_b c_b + m_w c_w}
portanto
T_f = T_i + \frac{m_b g h}{m_b c_b + m_w c_w}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T_f: temperatura final que queremos;
  • T_i: temperatura inicial ( 20^\circ\mathrm{C});
  • m_b: massa do bloco ( 10\\ \mathrm{kg});
  • g: aceleração da gravidade ( 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2});
  • h: altura ( 5\\ \mathrm{m});
  • c_b: calor específico do bloco (assumi 450\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • m_w: massa da água ( 20\\ \mathrm{kg});
  • c_w: calor específico da água ( 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).

Passo 5

Agora substituímos os números e calculamos passo a passo.
  1. Energia mecânica liberada pela queda:
m_b g h = 10\cdot 9{,}8 \cdot 5 = 490\\ \mathrm{J}.
  1. Capacidade térmica total do sistema (bloco + água):
m_b c_b + m_w c_w = 10\cdot 450 + 20\cdot 4186.
Calculemos cada termo:
10\cdot 450 = 4500\\ \mathrm{J/K},
20\cdot 4186 = 83720\\ \mathrm{J/K}.
Somando:
m_b c_b + m_w c_w = 4500 + 83720 = 88220\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calculando \Delta T:
\Delta T = \frac{m_b g h}{m_b c_b + m_w c_w} = \frac{490}{88220}\\ \mathrm{K}.
Fazendo a divisão:
\Delta T \approx 0{,}00556\\ \mathrm{K}.
Então a temperatura final é
T_f = T_i + \Delta T = 20^\circ\mathrm{C} + 0{,}00556\\ \mathrm{K} \approx 20{,}0056^\circ\mathrm{C}.
Comentário prático: o aumento é muito pequeno porque a água tem grande capacidade térmica; se o bloco fosse de alumínio (maior c_b) ou maior massa, o aquecimento seria diferente — dá para recalcular trocando c_b.

Resposta

T_f \approx 20{,}0056^\circ\mathrm{C}

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