• Um cilindro com pistão contém 2 kg de ar inicialmente em repouso.
  • O gás está a 300 K e recebe 50 kJ de calor.
  • Durante o processo, o pistão se move e o gás realiza 30 kJ de trabalho sobre o ambiente.
  • Ao final, o conjunto cilindro-pistão se move com velocidade de 10 \mathrm{m} / \mathrm{s}.
  • Considere variação de energia potencial desprezível.
  • Use \Delta \mathrm{U}+\Delta \mathrm{Ec}+\Delta \mathrm{Ep}=\mathrm{Q}+\mathrm{W} (W >0 quando é trabalho SOBRE o sistema).
  • a) Calcule \Delta U do ar. b) Estime a temperatura final.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular \Delta U do ar.
  • (b) Estimar a temperatura final do ar.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • massa do ar: m=2\\ \mathrm{kg};
  • temperatura inicial: T_{1}=300\\ \mathrm{K};
  • calor recebido pelo gás: Q=50\\ \mathrm{kJ} (positivo porque entra no sistema);
  • durante o processo o gás realiza trabalho sobre o ambiente de 30\\ \mathrm{kJ} (ou seja, o trabalho é feito PELO sistema sobre o entorno);
  • ao final, o conjunto cilindro–pistão (isto é, o sistema) move-se com velocidade v=10\\ \mathrm{m/s}, tendo estado inicialmente em repouso;
  • variação de energia potencial desprezível: \Delta E_{p}\approx 0;
  • equação de energia fornecida: \Delta U+\Delta E_{c}+\Delta E_{p}=Q+W, com a convenção W>0 quando o trabalho é \emph{sobre} o sistema.

Passo 2

Entendendo sinais e o termo W da equação: o enunciado diz que o gás \emph{realiza} 30\\ \mathrm{kJ} de trabalho sobre o ambiente. Como a convenção é W>0 quando o trabalho é \emph{sobre} o sistema, aqui o trabalho sobre o sistema é o negativo desse valor (porque o trabalho foi feito pelo sistema, não sobre ele). Portanto:
W = -30\\ \mathrm{kJ}.
Expliquei isso porque o sinal é crucial — muitos se confundem: trabalho feito pelo gás corresponde a W<0 na convenção dada.

Passo 3

Calcular a variação de energia cinética \Delta E_{c}. A fórmula da energia cinética translacional é
E_{c}=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa do sistema que passou a mover-se e v é a velocidade final. Como o sistema estava em repouso inicialmente, \Delta E_{c}=\tfrac{1}{2} m v^{2}. Substituindo m=2\\ \mathrm{kg} e v=10\\ \mathrm{m/s}:
\Delta E_{c}=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^{2}=100\\ \mathrm{J}.
Para operar com as mesmas unidades de Q e W (que estão em kJ), converto: 100\\ \mathrm{J}=0{,}1\\ \mathrm{kJ}.
Também converto Q e W para joules para usar unidades SI se preferir:
Q=50\\ \mathrm{kJ}=50\,000\\ \mathrm{J},\qquad W=-30\\ \mathrm{kJ}=-30\,000\\ \mathrm{J},\qquad \Delta E_{c}=100\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Aplicar a primeira lei na forma dada, isolando \Delta U:
\Delta U = Q + W - \Delta E_{c} - \Delta E_{p}.
Como \Delta E_{p}\approx 0, temos
\Delta U = Q + W - \Delta E_{c}.
Substituindo em joules:
\Delta U = 50\,000 + (-30\,000) - 100 = 19\,900\\ \mathrm{J}.
Convertendo para kilojoules:
\Delta U = 19{,}9\\ \mathrm{kJ}.
Comentário didático rápido: percebe que a energia que ficou como energia interna é o que sobrou do calor recebido após compensar o trabalho feito pelo gás e o ganho (pequeno) de energia cinética.

Passo 5

Lembrando como ligar \Delta U à temperatura: para um gás ideal (e o ar pode ser tratado assim para estimativa), a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura e é dada por
\Delta U = m\,c_{v}\,\Delta T,
onde
  • m é a massa do gás (aqui 2\\ \mathrm{kg});
  • c_{v} é a capacidade térmica específica a volume constante (energia por unidade de massa por grau);
  • \Delta T=T_{2}-T_{1} é a variação de temperatura que queremos achar.
Para o ar, um valor prático (à temperatura ambiente) é
c_{v}\approx 0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}=718\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Expliquei isso: usamos um valor tabulado para ar seco — é uma aproximação padrão em problemas de termodinâmica em engenharia.

Passo 6

Resolver para \Delta T:
\Delta T=\frac{\Delta U}{m\,c_{v}}.
Substituindo \Delta U=19{,}900\\ \mathrm{J}, m=2\\ \mathrm{kg} e c_{v}=718\\ \mathrm{J/(kg\,K)}:
\Delta T=\frac{19\,900}{2\cdot 718}=\frac{19\,900}{1\,436}\approx 13{,}9\\ \mathrm{K}.
Assim a temperatura final é
T_{2}=T_{1}+\Delta T=300+13{,}9\approx 313{,}9\\ \mathrm{K}.
Arredondando de modo prático: T_{2}\approx 314\\ \mathrm{K}.
Comentário prático: a contribuição da energia cinética ( 0{,}1\\ \mathrm{kJ}) é desprezível comparada aos 50\\ \mathrm{kJ} e 30\\ \mathrm{kJ} — isto explica porque a variação interna ficou próxima de Q-W em kJ.

Resposta

(a) \Delta U=19{,}9\\ \mathrm{kJ}
(b) T_{2}\approx 314\\ \mathrm{K}

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