- Um cilindro com pistão contém 2 kg de ar inicialmente em repouso.
- O gás está a 300 K e recebe 50 kJ de calor.
- Durante o processo, o pistão se move e o gás realiza 30 kJ de trabalho sobre o ambiente.
- Ao final, o conjunto cilindro-pistão se move com velocidade de 10
.
- Considere variação de energia potencial desprezível.
- Use
(W
quando é trabalho SOBRE o sistema).
- a) Calcule
do ar. b) Estime a temperatura final.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular
do ar. - (b) Estimar a temperatura final do ar.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
- massa do ar:
; - temperatura inicial:
; - calor recebido pelo gás:
(positivo porque entra no sistema); - durante o processo o gás realiza trabalho sobre o ambiente de
(ou seja, o trabalho é feito PELO sistema sobre o entorno); - ao final, o conjunto cilindro–pistão (isto é, o sistema) move-se com velocidade
, tendo estado inicialmente em repouso; - variação de energia potencial desprezível:
; - equação de energia fornecida:
, com a convenção quando o trabalho é \emph{sobre} o sistema.
Passo 2
Entendendo sinais e o termo
da equação: o enunciado diz que o gás \emph{realiza}
de trabalho sobre o ambiente. Como a convenção é
quando o trabalho é \emph{sobre} o sistema, aqui o trabalho sobre o sistema é o negativo desse valor (porque o trabalho foi feito pelo sistema, não sobre ele). Portanto:
Expliquei isso porque o sinal é crucial — muitos se confundem: trabalho feito pelo gás corresponde a
na convenção dada.
Passo 3
Calcular a variação de energia cinética
. A fórmula da energia cinética translacional é
onde
é a massa do sistema que passou a mover-se e
é a velocidade final. Como o sistema estava em repouso inicialmente,
. Substituindo
e
:
Para operar com as mesmas unidades de
e
(que estão em kJ), converto:
.
Também converto
e
para joules para usar unidades SI se preferir:
Passo 4
Aplicar a primeira lei na forma dada, isolando
:
Como
, temos
Substituindo em joules:
Convertendo para kilojoules:
Comentário didático rápido: percebe que a energia que ficou como energia interna é o que sobrou do calor recebido após compensar o trabalho feito pelo gás e o ganho (pequeno) de energia cinética.
Passo 5
Lembrando como ligar
à temperatura: para um gás ideal (e o ar pode ser tratado assim para estimativa), a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura e é dada por
onde
-
é a massa do gás (aqui ); -
é a capacidade térmica específica a volume constante (energia por unidade de massa por grau); -
é a variação de temperatura que queremos achar.
Para o ar, um valor prático (à temperatura ambiente) é
Expliquei isso: usamos um valor tabulado para ar seco — é uma aproximação padrão em problemas de termodinâmica em engenharia.
Passo 6
Resolver para
:
Substituindo
,
e
:
Assim a temperatura final é
Arredondando de modo prático:
.
Comentário prático: a contribuição da energia cinética (
) é desprezível comparada aos
e
— isto explica porque a variação interna ficou próxima de
em kJ.
Resposta
(a)
(b)
(b)