Questão 3: [10 pontos] Resolva o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo:
\begin{cases}u_{x x}+u_{y y}=0 & \text { se } 0<x, y<1, \\\ u(x, 0)=u(x, 1)=0 & \text { se } 0 \leqslant x \leqslant 1, \\\ u(0, y)=\operatorname{sen} 3 \pi y \text { e } u(1, y)=\operatorname{sen} \pi y & \text { se } 0 \leqslant y \leqslant 1 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo unitário. As informações dadas são:
\begin{cases} u_{x x}+u_{y y}=0 & \text{se } 0<x,y<1,\\[4pt] u(x,0)=0 & \text{se } 0\le x\le 1,\\[4pt] u(x,1)=0 & \text{se } 0\le x\le 1,\\[4pt] u(0,y)=\operatorname{sen} 3\pi y & \text{se } 0\le y\le 1,\\[4pt] u(1,y)=\operatorname{sen} \pi y & \text{se } 0\le y\le 1. \end{cases}
O objetivo é encontrar a função u(x,y) definida em 0\le x,y\le1 que satisfaça a equação de Laplace e essas condições de contorno.]

Passo 2

Vamos procurar uma solução por separação de variáveis e desenvolvimento em série nas funções que satisfazem as condições em y. A ideia é expandir u como soma de modos em y que respeitem u(x,0)=u(x,1)=0. Proponho a forma em série
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} X_n(x)\,\sin(n\pi y).
Por que escolhemos funções \sin(n\pi y)? Porque elas satisfazem automaticamente as condições de contorno homogêneas em y:
\sin(n\pi\cdot 0)=0,\qquad \sin(n\pi\cdot 1)=0.
Além disso, as funções \{\sin(n\pi y)\}_{n=1}^\infty são ortogonais em [0,1], o que facilita projetar as condições nas bordas x=0 e x=1.

Passo 3

Substituindo a série na equação u_{xx}+u_{yy}=0 e trocando soma e derivação (válido para a forma usual de separação), obtemos para cada n
X_n''(x)\sin(n\pi y) - X_n(x)\,(n\pi)^2\sin(n\pi y)=0.
Como \sin(n\pi y) não é identicamente zero, o coeficiente em x deve satisfazer a ODE
X_n''(x) - (n\pi)^2 X_n(x)=0.
Esta é uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é r^2-(n\pi)^2=0 com raízes r=\pm n\pi. Assim a solução geral é
X_n(x)=A_n e^{n\pi x}+B_n e^{-n\pi x}.
É conveniente reescrever usando funções hiperbólicas:
X_n(x)=C_n\operatorname{sinh}(n\pi x)+D_n\operatorname{cosh}(n\pi x),
pois \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} tornam mais simples o ajuste de condições em x=0 e x=1.

Passo 4

As condições de contorno nas bordas verticais dizem que, para todo y,
u(0,y)=\sum_{n=1}^\infty X_n(0)\sin(n\pi y)=\operatorname{sen} 3\pi y,
u(1,y)=\sum_{n=1}^\infty X_n(1)\sin(n\pi y)=\operatorname{sen} \pi y.
Definimos então os coeficientes (projeções) das condições em \sin(n\pi y):
a_n:=X_n(0)=2\int_0^1 u(0,y)\sin(n\pi y)\,dy,
b_n:=X_n(1)=2\int_0^1 u(1,y)\sin(n\pi y)\,dy.
(Explicação rápida: a fórmula a_n=2\int_0^1 f(y)\sin(n\pi y)\,dy vem da ortogonalidade \int_0^1\sin(m\pi y)\sin(n\pi y)\,dy=\tfrac{1}{2}\delta_{mn}.)

Passo 5

Calculemos [a_n) e b_n a partir dos dados u(0,y)=\operatorname{sen} 3\pi y e u(1,y)=\operatorname{sen} \pi y.
Para a_n:
a_n=2\int_0^1 \operatorname{sen} 3\pi y\;\sin(n\pi y)\,dy.
Pela ortogonalidade, essa integral vale 0 quando n\neq 3 e vale 2\cdot\frac{1}{2}=1 quando n=3. Logo
a_n=\begin{cases} 1,& n=3,\\[4pt] 0,& n\neq 3. \end{cases}
Para b_n\]: \[b_n=2\int_0^1 \operatorname{sen} \pi y\;\sin(n\pi y)\,dy,\] que vale \[1 quando n=1 e 0 para n\neq 1. Assim
b_n=\begin{cases} 1,& n=1,\\[4pt] 0,& n\neq 1. \end{cases}
Portanto somente os modos n=1\] e \(n=3 aparecem na expansão final.]

Passo 6

Agora determinamos X_n(x) em termos de a_n e b_n. Usando a forma X_n(x)=C_n\operatorname{sinh}(n\pi x)+D_n\operatorname{cosh}(n\pi x) e impondo X_n(0)=D_n=a_n e X_n(1)=C_n\operatorname{sinh}(n\pi)+D_n\operatorname{cosh}(n\pi)=b_n, temos
C_n=\frac{b_n-a_n\operatorname{cosh}(n\pi)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
Logo
X_n(x)=a_n\operatorname{cosh}(n\pi x)+\frac{b_n-a_n\operatorname{cosh}(n\pi)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}\operatorname{sinh}(n\pi x).
É mais elegante e intuitivo reescrever X_n em termos de funções \operatorname{sinh} que satisfazem as condições nas extremidades x=0 e x=1. Fazendo manipulação algébrica, obtemos a forma
X_n(x)=a_n\,\frac{\operatorname{sinh}\big(n\pi(1-x)\big)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}+b_n\,\frac{\operatorname{sinh}(n\pi x)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
Verificação rápida: em x=0 a primeira fração vale 1 e a segunda vale 0, então X_n(0)=a_n; em x=1 a primeira fração vale 0 e a segunda vale 1, então X_n(1)=b_n. Esta é a forma padrão para interpolar os valores nas bordas em x mantendo a equação de Laplace.

Passo 7

Substituímos os valores de a_n e b_n. Como a_n é não nulo apenas para n=3 e b_n é não nulo apenas para n=1, a solução contém só dois termos:
para n=1 temos a_1=0, b_1=1, então
X_1(x)=\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}.
para n=3 temos a_3=1, b_3=0, então
X_3(x)=\frac{\operatorname{sinh}\big(3\pi(1-x)\big)}{\operatorname{sinh}(3\pi)}.
Portanto a solução u(x,y) é a soma desses dois modos:
u(x,y)=X_1(x)\sin(\pi y)+X_3(x)\sin(3\pi y).

Passo 8

Escrevendo explicitamente a solução:
u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y)+\frac{\operatorname{sinh}\big(3\pi(1-x)\big)}{\operatorname{sinh}(3\pi)}\sin(3\pi y).
Podemos verificar rapidamente que:
  • Para y=0 ou y=1 as sinos valem zero, então u(x,0)=u(x,1)=0 (ok).
  • Para x=0 o primeiro termo some e o segundo reduz a \sin(3\pi y) (porque \operatorname{sinh}(3\pi(1-0))/\operatorname{sinh}(3\pi)=1), então u(0,y)=\sin(3\pi y) (ok).
  • Para x=1 o segundo termo some e o primeiro reduz a \sin(\pi y) (porque \operatorname{sinh}(\pi\cdot1)/\operatorname{sinh}(\pi)=1), então u(1,y)=\sin(\pi y) (ok).

Resposta

u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(\pi x)}{\operatorname{sinh}(\pi)}\sin(\pi y)+\frac{\operatorname{sinh}\big(3\pi(1-x)\big)}{\operatorname{sinh}(3\pi)}\sin(3\pi y).

Exercícios relacionados