O objetivo é encontrar a função u(x,y) definida em 0\le x,y\le1 que satisfaça a equação de Laplace e essas condições de contorno.]
Passo 2
Vamos procurar uma solução por separação de variáveis e desenvolvimento em série nas funções que satisfazem as condições em y. A ideia é expandir u como soma de modos em y que respeitem u(x,0)=u(x,1)=0. Proponho a forma em série
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} X_n(x)\,\sin(n\pi y).
Por que escolhemos funções \sin(n\pi y)? Porque elas satisfazem automaticamente as condições de contorno homogêneas em y:
\sin(n\pi\cdot 0)=0,\qquad \sin(n\pi\cdot 1)=0.
Além disso, as funções \{\sin(n\pi y)\}_{n=1}^\infty são ortogonais em [0,1], o que facilita projetar as condições nas bordas x=0 e x=1.
Passo 3
Substituindo a série na equação u_{xx}+u_{yy}=0 e trocando soma e derivação (válido para a forma usual de separação), obtemos para cada n
Como \sin(n\pi y) não é identicamente zero, o coeficiente em x deve satisfazer a ODE
X_n''(x) - (n\pi)^2 X_n(x)=0.
Esta é uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica é r^2-(n\pi)^2=0 com raízes r=\pm n\pi. Assim a solução geral é
X_n(x)=A_n e^{n\pi x}+B_n e^{-n\pi x}.
É conveniente reescrever usando funções hiperbólicas:
Portanto somente os modos n=1\] e \(n=3 aparecem na expansão final.]
Passo 6
Agora determinamos X_n(x) em termos de a_n e b_n. Usando a forma X_n(x)=C_n\operatorname{sinh}(n\pi x)+D_n\operatorname{cosh}(n\pi x) e impondo X_n(0)=D_n=a_n e X_n(1)=C_n\operatorname{sinh}(n\pi)+D_n\operatorname{cosh}(n\pi)=b_n, temos
É mais elegante e intuitivo reescrever X_n em termos de funções \operatorname{sinh} que satisfazem as condições nas extremidades x=0 e x=1. Fazendo manipulação algébrica, obtemos a forma
Verificação rápida: em x=0 a primeira fração vale 1 e a segunda vale 0, então X_n(0)=a_n; em x=1 a primeira fração vale 0 e a segunda vale 1, então X_n(1)=b_n. Esta é a forma padrão para interpolar os valores nas bordas em x mantendo a equação de Laplace.
Passo 7
Substituímos os valores de a_n e b_n. Como a_n é não nulo apenas para n=3 e b_n é não nulo apenas para n=1, a solução contém só dois termos:
para n=1 temos a_1=0, b_1=1, então
Para y=0 ou y=1 as sinos valem zero, então u(x,0)=u(x,1)=0 (ok).
Para x=0 o primeiro termo some e o segundo reduz a \sin(3\pi y) (porque \operatorname{sinh}(3\pi(1-0))/\operatorname{sinh}(3\pi)=1), então u(0,y)=\sin(3\pi y) (ok).
Para x=1 o segundo termo some e o primeiro reduz a \sin(\pi y) (porque \operatorname{sinh}(\pi\cdot1)/\operatorname{sinh}(\pi)=1), então u(1,y)=\sin(\pi y) (ok).