Um bloco metálico retangular, de resistividade rho, possui as seguintes dimensões: d times 2 d times 3 d. Uma diferença de potencial V deve ser aplicada entre duas faces opostas do bloco. (a) Para que faces a ddp aplicada fornece a maior densidade de corrente? Qual é o valor dessa densidade de corrente máxima?
(b) Para que faces a ddp aplicada fornece a maior corrente? Qual é o valor dessa corrente máxima?

Passo 1

O enunciado dá um bloco metálico de resistividade rho e dimensões dtimes2dtimes3d. Aplicamos uma ddp V entre duas faces opostas e queremos:
(a) em que orientação a densidade de corrente J é máxima e qual é esse Jmax;
(b) em que orientação a corrente total I é máxima e qual é esse Imax.

Passo 2

A densidade de corrente é dada por J=sigma E, onde sigma=1/rho e E=V/L, sendo L a distância entre as faces onde aplicamos a ddp. Logo
J=1rho,VL=Vrho,L
Para maximizar J basta minimizar L. Das três dimensões ( d,2d,3d), o menor valor é d. Logo a maior densidade de corrente ocorre quando aplicamos V entre as faces separadas por d, ou seja, as faces de área 2dtimes3d. Assim
Jmax=Vrho,d

Passo 3

A corrente total é I=J,A. Substituindo J=V/(rho L) e A a área das faces:
I=Vrho,AL
Para maximizar I examinamos o quociente A/L em cada caso:
  • Se L=d, então A=2dtimes3d=6d^2 e A/L=6d.
  • Se L=2d, então A=dtimes3d=3d^2 e A/L=1,5d.
  • Se L=3d, então A=dtimes2d=2d^2 e A/L=tfrac23d.
    O maior valor de A/L também ocorre para L=d. Portanto a corrente máxima ocorre na mesma orientação do item (a), com
Imax =Vrho,6d^2d =6Vdrho

Resposta

(a) Entre as faces separadas por d, de área 2dtimes3d.
Jmax=Vrho,d
(b) Entre as mesmas faces ( L=d).
Imax=6Vdrho

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