Um bloco parte do repouso de uma altura H, deslizando sem atrito sobre uma rampa até ser lançado horizontalmente de uma altura h<H. Qual deve ser a altura h a fim de garantir o máximo alcance horizontal d ao longo do solo? Qual o valor desse alcance?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O que é dado:
    • Um bloco parte do repouso de uma altura H e desliza sem atrito por uma rampa até sair horizontalmente de uma altura h, com 0<h<H.
    • A velocidade escalar do bloco ao sair da rampa vem da conversão da energia potencial entre as alturas H e h.
    • Após a saída ele descreve um movimento de projétil lançado horizontalmente a partir da altura h até tocar o solo.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a altura h (em função de H) que maximiza o alcance horizontal d no solo.
    2. Determinar o valor desse alcance máximo d_{\max}.

Passo 2

Energia mecânica e velocidade de saída: ensinar e aplicar.
  • Conceito: quando não há atrito, a energia mecânica se conserva. A energia potencial gravitacional perdida entre as alturas H e h vira energia cinética do bloco ao sair. A energia potencial é mgh (onde m é a massa do bloco, g a aceleração da gravidade e h a altura); a energia cinética é \tfrac{1}{2}mv^2 (onde v é a velocidade).
  • Escrevendo conservação entre o início (altura H, velocidade zero) e o ponto de lançamento (altura h, velocidade v):
m g H = m g h + \tfrac{1}{2} m v^2.
Explicando cada termo:
  • m g H é a energia potencial inicial.
  • m g h é a energia potencial no ponto de lançamento.
  • \tfrac{1}{2} m v^2 é a energia cinética ao sair.
  • Isolando v:
\tfrac{1}{2} m v^2 = m g (H-h) \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2 g (H-h).
Como v\ge0,
v = \sqrt{2 g (H-h)}.

Passo 3

Movimento de projétil lançado horizontalmente: tempo de queda e alcance.
  • Conceito: para um lançamento horizontal, a componente horizontal da velocidade permanece constante (não há resistência do ar nem forças horizontais). A componente vertical inicial é zero e a queda é com aceleração g.
  • Tempo de queda t desde altura h até o solo: usar a equação do movimento vertical com deslocamento -h e velocidade inicial vertical zero:
h = \tfrac{1}{2} g t^2.
Resolvendo para t (tomando a raiz positiva porque o tempo é positivo):
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
  • Alcance horizontal d: é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de queda. Como o lançamento é horizontal, a velocidade horizontal é v (calculado no Passo 2), logo
d = v\,t.

Passo 4

Combinar as fórmulas para obter d em função de h (e de H).
  • Substituir v=\sqrt{2g(H-h)} e t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} em d=v t:
d(h) = \sqrt{2 g (H-h)}\;\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
  • Simplificando as raízes (explicar passo a passo):
    • Produto das raízes: \sqrt{2g(H-h)}\cdot\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\left(2g(H-h)\right)\left(\dfrac{2h}{g}\right)}.
    • O g cancela: \left(2g\right)\left(\dfrac{2}{g}\right)=4.
      Portanto
d(h) = 2\sqrt{h(H-h)}.
  • Observação sobre domínio: h deve satisfazer 0<h<H. Nas extremidades h\to0 ou h\to H o alcance vai a zero (física intuitiva: sem queda não há tempo; sem velocidade não há alcance).

Passo 5

Maximizar d(h): método e justificativa.
  • Estratégia: é mais simples maximizar d^2(h) porque evitar raízes facilita as derivadas e o ponto que maximiza d^2 também maximiza d (pois d\ge0).
  • Calcular d^2(h):
d^2(h) = \bigl(2\sqrt{h(H-h)}\bigr)^2 = 4h(H-h)=4\bigl(Hh-h^2\bigr).
  • Derivar d^2 em relação a h e igualar a zero para encontrar extremos:
\frac{d}{dh}\bigl(d^2(h)\bigr) = 4\bigl(H-2h\bigr).
  • Igualando a zero:
4(H-2h)=0 \quad\Rightarrow\quad H-2h=0 \quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{H}{2}.
  • Verificar que é máximo: segunda derivada
\frac{d^2}{dh^2}\bigl(d^2(h)\bigr) = 4(-2) = -8 < 0,
portanto o ponto é um máximo local (e como o domínio é limitado e as extremidades dão d=0, é o máximo global em 0<h<H).

Passo 6

Calcular o alcance máximo correspondente.
  • Substituir h=\dfrac{H}{2} na expressão de d(h):
d_{\max}=d\!\left(\dfrac{H}{2}\right)=2\sqrt{\dfrac{H}{2}\Bigl(H-\dfrac{H}{2}\Bigr)}.
  • Simplificar passo a passo:
    • H-\dfrac{H}{2}=\dfrac{H}{2}.
    • Produto dentro da raiz: \dfrac{H}{2}\cdot\dfrac{H}{2}=\dfrac{H^2}{4}.
    • Raiz: \sqrt{\dfrac{H^2}{4}}=\dfrac{H}{2} (usar H>0).
    • Multiplicar pelo fator 2: 2\cdot\dfrac{H}{2}=H.
      Logo
d_{\max}=H.

Passo 7

Interpretação física curta e dica para a prova.
  • Resultado compacto: a melhor altura de lançamento é a metade da altura inicial, h=\dfrac{H}{2}, e o alcance máximo é igual à altura inicial, d_{\max}=H.
  • Intuição física: existe um trade-off entre velocidade (melhor quando h é pequeno) e tempo de queda (melhor quando h é grande). O máximo aparece quando esses dois efeitos se equilibram — nesse problema simples esse equilíbrio ocorre em h=H/2.
  • Dica prática para prova: ao ver expressões do tipo produto de uma quantidade e sua complementar ( h(H-h)), lembrar que isso é maximizado quando as duas parcelas são iguais, daí h=H/2. Isso evita derivadas em tempo curto.

Resposta

h=\dfrac{H}{2}
d_{\max}=H

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