Um bloco parte do repouso de uma altura
, deslizando sem atrito sobre uma rampa até ser lançado horizontalmente de uma altura
. Qual deve ser a altura
a fim de garantir o máximo alcance horizontal
ao longo do solo? Qual o valor desse alcance?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
O que é dado:
- Um bloco parte do repouso de uma altura
e desliza sem atrito por uma rampa até sair horizontalmente de uma altura , com . - A velocidade escalar do bloco ao sair da rampa vem da conversão da energia potencial entre as alturas
e . - Após a saída ele descreve um movimento de projétil lançado horizontalmente a partir da altura
até tocar o solo.
- Um bloco parte do repouso de uma altura
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a altura
(em função de ) que maximiza o alcance horizontal no solo. - Determinar o valor desse alcance máximo
.
- Determinar a altura
Passo 2
Energia mecânica e velocidade de saída: ensinar e aplicar.
-
Conceito: quando não há atrito, a energia mecânica se conserva. A energia potencial gravitacional perdida entre as alturas
e vira energia cinética do bloco ao sair. A energia potencial é (onde é a massa do bloco, a aceleração da gravidade e a altura); a energia cinética é (onde é a velocidade). -
Escrevendo conservação entre o início (altura
, velocidade zero) e o ponto de lançamento (altura , velocidade ):
Explicando cada termo:
-
é a energia potencial inicial. -
é a energia potencial no ponto de lançamento. -
é a energia cinética ao sair. -
Isolando
:
Como
,
Passo 3
Movimento de projétil lançado horizontalmente: tempo de queda e alcance.
-
Conceito: para um lançamento horizontal, a componente horizontal da velocidade permanece constante (não há resistência do ar nem forças horizontais). A componente vertical inicial é zero e a queda é com aceleração
. -
Tempo de queda
desde altura até o solo: usar a equação do movimento vertical com deslocamento e velocidade inicial vertical zero:
Resolvendo para
(tomando a raiz positiva porque o tempo é positivo):
- Alcance horizontal
: é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de queda. Como o lançamento é horizontal, a velocidade horizontal é (calculado no Passo 2), logo
Passo 4
Combinar as fórmulas para obter
em função de
(e de
).
- Substituir
e em :
- Simplificando as raízes (explicar passo a passo):
- Produto das raízes:
. - O
cancela: .
Portanto
- Produto das raízes:
- Observação sobre domínio:
deve satisfazer . Nas extremidades ou o alcance vai a zero (física intuitiva: sem queda não há tempo; sem velocidade não há alcance).
Passo 5
Maximizar
: método e justificativa.
- Estratégia: é mais simples maximizar
porque evitar raízes facilita as derivadas e o ponto que maximiza também maximiza (pois ). - Calcular
:
- Derivar
em relação a e igualar a zero para encontrar extremos:
- Igualando a zero:
- Verificar que é máximo: segunda derivada
portanto o ponto é um máximo local (e como o domínio é limitado e as extremidades dão
, é o máximo global em
).
Passo 6
Calcular o alcance máximo correspondente.
- Substituir
na expressão de :
- Simplificar passo a passo:
-
. - Produto dentro da raiz:
. - Raiz:
(usar ). - Multiplicar pelo fator
: .
Logo
-
Passo 7
Interpretação física curta e dica para a prova.
- Resultado compacto: a melhor altura de lançamento é a metade da altura inicial,
, e o alcance máximo é igual à altura inicial, . - Intuição física: existe um trade-off entre velocidade (melhor quando
é pequeno) e tempo de queda (melhor quando é grande). O máximo aparece quando esses dois efeitos se equilibram — nesse problema simples esse equilíbrio ocorre em . - Dica prática para prova: ao ver expressões do tipo produto de uma quantidade e sua complementar (
), lembrar que isso é maximizado quando as duas parcelas são iguais, daí . Isso evita derivadas em tempo curto.