Uma partícula está sujeita a três forças no plano x y: \vec{F}_{1}=(10 \hat{i}-3 \hat{j}), F_{2}=(-8 \hat{i}+12 \hat{j}), F_{3}=(4 \hat{i}-3 \hat{j}). Qual é o vetor força resultante (é a soma vetorial das forças que atuam na partícula) (a) em termos dos vetores unitários e (b) qual seu módulo?

Passo 1

O enunciado dá três forças no plano xy e pede duas coisas:
  • Forças fornecidas:
    • \vec{F}_{1} = (10\hat{i}-3\hat{j})
    • \vec{F}_{2} = (-8\hat{i}+12\hat{j})
    • \vec{F}_{3} = (4\hat{i}-3\hat{j})
  • Perguntas:
    • (a) Qual é o vetor força resultante (soma vetorial) em termos dos vetores unitários \hat{i} e \hat{j}?
    • (b) Qual é o módulo (comprimento) desse vetor resultante?

Passo 2

O que significa escrever uma força em termos de \hat{i} e \hat{j}:
Cada vetor \vec{F} no plano pode ser escrito como
\vec{F} = F_x\hat{i} + F_y\hat{j},
onde F_x é a componente na direção x (multiplicando \hat{i}) e F_y é a componente na direção y (multiplicando \hat{j}). Aqui \hat{i} e \hat{j} são os vetores unitários que apontam, respectivamente, para as direções positivas dos eixos x e y.

Passo 3

Como somar vetores no plano de forma prática: somam-se as componentes correspondentes. Para a resultante \vec{F}_R temos a relação
\vec{F}_R=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3,
portanto as componentes x e y da resultante são
F_{R,x}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}, \qquad F_{R,y}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}.
Aqui F_{ix} e F_{iy} são as componentes x e y da força \vec{F}_i.

Passo 4

Calcular a componente x da resultante usando os valores dados:
F_{R,x} = 10 + (-8) + 4 = 10 - 8 + 4 = 6.
Expliquei passo a passo: somei 10 com -8 dando 2, e somei 2 com 4 dando 6.

Passo 5

Calcular a componente y da resultante:
F_{R,y} = -3 + 12 + (-3) = -3 + 12 - 3 = 6.
Novamente somei -3 com 12 obtendo 9, e então 9-3=6.

Passo 6

Escrever a resultante em termos de \hat{i} e \hat{j} usando as componentes que encontramos:
\vec{F}_R = 6\hat{i} + 6\hat{j}.
Isso responde a parte (a): o vetor resultante tem componentes iguais em x e y.

Passo 7

Calcular o módulo (comprimento) de um vetor no plano: para \vec{F}_R = F_{R,x}\hat{i} + F_{R,y}\hat{j} o módulo é dado por
\|\vec{F}_R\| = \sqrt{F_{R,x}^2 + F_{R,y}^2},
onde F_{R,x} e F_{R,y} são as componentes já encontradas. Substituindo:
\|\vec{F}_R\| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}.
Podemos simplificar \sqrt{72} fatorando 72 = 36\cdot2:
\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot2} = 6\sqrt{2}.
Se quiser um valor decimal aproximado:
6\sqrt{2} \approx 8,4853.

Passo 8

Recapitulando de forma curta e animadora: somando componentes obtivemos \vec{F}_R=6\hat{i}+6\hat{j} e o módulo é 6\sqrt{2} (aproximadamente 8,4853). Mandou bem por trazer a questão — com calma, fazendo componente a componente, fica tranquilo de resolver na prova!

Resposta

(a) \vec{F}_R = 6\hat{i} + 6\hat{j}
(b) \|\vec{F}_R\| = 6\sqrt{2} \approx 8,4853

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