Um bloco, preso a uma mola de constante elástica 20 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, realiza MHS, de modo que sua energia mecânica seja 90 J. Determine a amplitude do movimento.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras e pede uma coisa só. Vou listar tudo explicitamente:
  • Constante elástica da mola: k=20\\ \mathrm{N/m}.
  • Energia mecânica do sistema (constante durante o MHS): E=90\\ \mathrm{J}.
    O que o problema pede:
  • Determinar a amplitude do movimento, isto é, o valor máximo da elongação A (em metros).

Passo 2

Entendendo a energia num MHS (explicação didática e passo a passo).
  • Num movimento harmônico simples (mola + bloco sem atrito), a energia mecânica total E é a soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U:
E = K + U.
  • A energia potencial elástica para uma mola é dada por
U(x)=\frac{1}{2}k x^{2},
onde x é a deformação (elongação) da mola em metros e k é a constante elástica em \mathrm{N/m}.
  • No instante de máxima elongação (ou máxima compressão), isto é, em x=\pm A, a velocidade do bloco é zero, então a energia cinética é nula ( K=0). Assim, toda a energia mecânica está armazenada como energia potencial no molas:
E = U(A) = \frac{1}{2}k A^{2}.
Esse é o ponto chave: usar que no extremo do movimento a energia é puramente potencial e igual à energia total dada.

Passo 3

Isolando a amplitude a partir da relação entre energia e amplitude.
  • Partindo de
E=\frac{1}{2}k A^{2},
vamos isolar A. Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por k obtemos
A^{2}=\frac{2E}{k}.
  • Tomando raiz quadrada positiva (amplitude é módulo da elongação):
A=\sqrt{\frac{2E}{k}}.
Aqui \,A está em metros porque \,E está em joules ( \mathrm{J}=\mathrm{N\cdot m}) e \,k em \mathrm{N/m}; assim a razão tem dimensão de \mathrm{m^{2}} e a raiz dá \mathrm{m}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e fazendo as contas com calma.
  • Primeiro calcule 2E:
2E = 2\cdot 90 = 180.
  • Em seguida calcule \dfrac{2E}{k}:
\frac{2E}{k}=\frac{180}{20}=9.
  • Finalmente
A=\sqrt{9}=3.
Lembre-se de anotar a unidade: o resultado é em metros.

Passo 5

Verificação rápida (confere que não houve erro aritmético):
  • Calcular de volta a energia com A=3\\ \mathrm{m}:
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 3^{2}=10\cdot 9=90\\ \mathrm{J},
que bate com a energia dada. Tudo consistente.

Passo 6

Dica prática para a prova (amigo tentando te ajudar):
  • Sempre lembre que em MHS a energia máxima é alcançada nas extremidades (velocidade zero), então usar E=(1/2)kA^{2} é a forma mais rápida quando der energia e k.
  • Se a massa fosse dada e pedissem velocidade máxima, poderia usar K_{\max}=E e K_{\max}=\tfrac{1}{2}mv_{\max}^{2}.

Resposta

A=3\\ \mathrm{m}

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