Questão 3

Um circuito RLC em série possui R =150 \Omega, \mathrm{~L}=0,50 \mathrm{H}, \mathrm{C}=20 \mu \mathrm{~F} e é alimentado por uma fonte CA de tensão eficaz Vef =120 \mathrm{~V} e frequência f=60 \mathrm{~Hz}.
(a) Calcule a reatância indutiva X_{L}, a reatância capacitiva X_{C}, a impedância total Z e o ângulo de fase \varphi entre corrente e tensão.
(b) Determine a corrente eficaz no circuito e a potência média dissipada.
(c) Qual deve ser a nova frequência da fonte para que o circuito entre em ressonância? Calcule a corrente eficaz nessa condição.

Passo 1

O enunciado nos dá um circuito RLC série com os seguintes dados (peguei todos do enunciado):
  • R=150\\ \Omega
  • L=0{,}50\\ \mathrm{H}
  • C=20\\ \mu\mathrm{F}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{F}
  • Tensão eficaz da fonte \,V_{\rm ef}=120\\ \mathrm{V}\,
  • Frequência \,f=60\\ \mathrm{Hz}\,
O enunciado pede:
(a) Calcular as reatâncias indutiva X_{L} e capacitiva X_{C}, a impedância total Z e o ângulo de fase \varphi entre corrente e tensão.
(b) Determinar a corrente eficaz no circuito e a potência média dissipada.
(c) Determinar a nova frequência para que haja ressonância e calcular a corrente eficaz nessa condição.
Agora vamos resolver passo a passo e entender cada fórmula usada.

Passo 2

Definição e cálculo da pulsação \omega.
Explicação: em circuitos AC, é conveniente trabalhar com a pulsação \omega que relaciona a frequência por \omega=2\pi f. Aqui \omega tem unidade de rad/s e aparece nas fórmulas de reatância.
\omega = 2\pi f
Substituindo f=60\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot 60 = 376{,}99\\ \mathrm{rad/s}
(Arredondei para duas casas decimais; manter \omega com este valor é suficiente para as contas da prova.)

Passo 3

Cálculo da reatância indutiva X_L.
Conceito: a reatância indutiva mede “a oposição” do indutor à corrente alternada e cresce com a frequência. A fórmula é
X_L = \omega L,
onde \omega é a pulsação (rad/s) e L é a indutância (H).
Aplicando os valores:
X_L = 376{,}99 \cdot 0{,}50 = 188{,}50\\ \Omega.
Interpretação: X_L\approx188{,}50\\ \Omega. Esse valor é a componente imaginária positiva da impedância do indutor.

Passo 4

Cálculo da reatância capacitiva X_C.
Conceito: a reatância capacitiva mede a oposição do capacitor e diminui com a frequência. A fórmula é
X_C = \frac{1}{\omega C},
onde C está em farads.
Aplicando os valores ( C=20\times10^{-6}\\ \mathrm{F}):
X_C = \frac{1}{376{,}99 \cdot 20\times10^{-6}} = 132{,}63\\ \Omega.
Interpretação: X_C\approx132{,}63\\ \Omega. Note que X_C é tratado como positivo ao escrever a magnitude; na impedância ele aparece com sinal negativo (veja próximo passo).

Passo 5

Impedância total Z e ângulo de fase \varphi.
Conceito: num circuito série RLC a impedância complexa é
Z_{\text{complexa}} = R + j\,(X_L - X_C),
onde j é a unidade imaginária. A magnitude da impedância (o que usamos para a corrente eficaz) é
Z = \sqrt{R^{2} + (X_L - X_C)^{2}}.
O ângulo de fase \varphi (entre tensão e corrente) é o argumento da impedância:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right).
Cálculos numéricos: primeiro a diferença X_L - X_C:
X_L - X_C = 188{,}50 - 132{,}63 = 55{,}87\\ \Omega.
Agora a magnitude Z:
Z = \sqrt{150^{2} + 55{,}87^{2}} = \sqrt{22500 + 3121{,}9} = \sqrt{25621{,}9} = 160{,}06\\ \Omega.
Ângulo de fase:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{55{,}87}{150}\right) = \arctan(0{,}3724) \approx 20{,}38^\circ.
Interpretação física rápida: como X_L>X_C (diferença positiva), o circuito é indutivo e a corrente atrasa em relação à tensão; isto é, a corrente “fica atrás” da tensão por \varphi (corrente defasada para trás).

Passo 6

Corrente eficaz no circuito (parte b).
Conceito: em série, a corrente eficaz é dada por I_{\rm ef}=V_{\rm ef}/Z (lei de Ohm para grandezas eficazes com impedância complexa).
I_{\rm ef}=\frac{V_{\rm ef}}{Z}=\frac{120}{160{,}06}=0{,}7498\\ \mathrm{A}\approx0{,}750\\ \mathrm{A}.
Arredondei para três casas significativas: 0{,}750\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Potência média dissipada (parte b).
Conceito: a potência média dissipada em um circuito série RLC vai apenas no resistor e pode ser calculada por
P = I_{\rm ef}^{2}\,R.
Também é igual a P = V_{\rm ef}\,I_{\rm ef}\cos\varphi, onde \cos\varphi é o fator de potência. Usando a fórmula I^2R (mais direta):
P = (0{,}7498)^{2}\cdot 150 = 0{,}5622\cdot 150 = 84{,}33\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência média dissipada é aproximadamente 84{,}33\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Frequência de ressonância e corrente nessa condição (parte c).
Conceito: ressonância em série ocorre quando X_L = X_C. Isso implica
\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}\quad\Rightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
A frequência associada é
f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Cálculo numérico: primeiro LC:
LC = 0{,}50\cdot 20\times10^{-6} = 10\times10^{-6} = 1\times10^{-5}.
Então
f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{1\times10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\cdot 0{,}00316228} = 50{,}33\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: a frequência de ressonância é f_0\approx50{,}33\\ \mathrm{Hz}.
Corrente eficaz na ressonância: em ressonância X_L-X_C=0, então a impedância é puramente resistiva Z=R. Logo
I_{\rm ef, res} = \frac{V_{\rm ef}}{R} = \frac{120}{150} = 0{,}800\\ \mathrm{A}.
Observação: a corrente em ressonância é maior que em 60\\ \mathrm{Hz} porque a reatância líquida é zero e a resistência sozinha limita a corrente.

Resposta

(a) X_L = 188{,}50\\ \Omega,\quad X_C = 132{,}63\\ \Omega,\quad Z = 160{,}06\\ \Omega,\quad \varphi = 20{,}38^\circ.
(b) I_{\rm ef} = 0{,}750\\ \mathrm{A},\quad P = 84{,}33\\ \mathrm{W}.
(c) f_0 = 50{,}33\\ \mathrm{Hz},\quad I_{\rm ef,\\ res} = 0{,}800\\ \mathrm{A}.

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