Questão 2
Um indutor de autoindutância
e resistência interna
está conectado em série com um resistor externo
e uma fonte ideal de tensão contínua
. Inicialmente (
), a chave do circuito está aberta e não há corrente.
Em t=0, uma chave é fechada e isso conecta a fonte ao indutor e ao resistor.
(a) Escreva a equação diferencial para a corrente
no circuito para
.
(b) Resolva essa equação e encontre i(t) em função do tempo.
(c) Calcule a constante de tempo τ do circuito e esboce o gráfico qualitativo de
.
(d) Determine a energia total armazenada no campo magnético do indutor em um tempo muito grande.
(e) Após atingir o regime estacionário, a chave é selecionada para desligar a fonte e fazer uma
conexão em série do indutor e do resistor. Explique o que acontecerá ao circuito e faça diagramas das grandezas físicas relevantes.
(a) Escreva a equação diferencial para a corrente
(b) Resolva essa equação e encontre i(t) em função do tempo.
(c) Calcule a constante de tempo τ do circuito e esboce o gráfico qualitativo de
(d) Determine a energia total armazenada no campo magnético do indutor em um tempo muito grande.
(e) Após atingir o regime estacionário, a chave é selecionada para desligar a fonte e fazer uma
conexão em série do indutor e do resistor. Explique o que acontecerá ao circuito e faça diagramas das grandezas físicas relevantes.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede várias coisas:
-
Dados (peguei estes do enunciado):
- Indutância do indutor:
. - Resistência interna do indutor:
. - Resistor externo:
. - Fem da fonte (dc):
. - Para
a chave está aberta e . - Em
a chave é fechada conectando a fonte, o indutor e o resistor em série.
- Indutância do indutor:
-
O que o enunciado pede:
(a) escrever a equação diferencial parapara ;
(b) resolver a equação e encontrarem função do tempo;
(c) calcular a constante de tempoe esboçar qualitativamente o gráfico de ;
(d) calcular a energia total armazenada no campo magnético do indutor para tempo muito grande (regime permanente);
(e) depois do regime permanente, a chave é mudada para desconectar a fonte e deixar apenas o indutor em série com o resistor: explicar o que acontece ao circuito e desenhar (descrever) as grandezas relevantes.
Passo 2
Montando a equação pelo KVL (Lei das Malhas). Percorrendo a malha no sentido da corrente
temos soma algébrica das quedas de tensão igual à fem da fonte. As quedas são: queda no resistor externo
igual a
, queda na resistência interna
igual a
, e tensão no indutor igual a
(sinal conforme a convenção de corrente). Portanto a equação de malha é
Definindo a resistência total em série
a equação fica mais simples e em forma padrão:
Passo 3
Explico cada termo da equação (é importante entender para a prova):
-
é a tensão induzida no indutor que aparece sempre que a corrente muda. A unidade é volt porque em henry vezes dá volts. -
é a soma das quedas resistivas (interna + externa). -
é a fonte que tenta manter a diferença de potencial.
A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem não-homogênea. Escrevendo-a explicitamente com os números do problema:
ou substituindo valores
pois
.
Passo 4
Resolver a equação diferencial. Método direto (solução geral = solução da homogênea + particular).
- Solução homogênea (resolver
):
integrando obtemos
onde
é constante a determinar pela condição inicial.
- Solução particular (procura-se uma solução constante porque o lado direito é constante):
Seé constante então , logo
- Solução geral:
- Condição inicial: antes de fechar a chave
; imediatamente após fechar ( ) a corrente não muda instantaneamente num indutor, então . Substituindo :
- Portanto a solução completa é
Passo 5
Colocando os valores numéricos finais para
. Lembre que
,
,
. Então
Explico a forma: é uma subida exponencial desde
até
.
Passo 6
Constante de tempo
. Definição e cálculo:
Interpretação física curta: após um intervalo de tempo
a corrente atinge
do valor final. Por exemplo
Esboço qualitativo do gráfico de
: curva exponencial crescente que parte de
em
e se aproxima assintoticamente de
com constante de tempo
. Após cerca de
já está praticamente em regime permanente (>99%).
Passo 7
Energia armazenada no campo magnético do indutor em tempo muito grande (regime permanente). Fórmula da energia magnética:
onde
é a corrente em regime permanente
. Substituindo:
Passo 8
O que acontece quando, após atingir o regime estacionário, a chave é movida para desconectar a fonte e deixar o indutor e o resistor em série (resposta à parte e)?
- Situação instantânea ao mudar a chave:
- No instante imediatamente após a chave ser trocada a corrente no indutor não pode mudar instantaneamente, então
. - Agora o circuito é apenas o indutor em série com as resistências (mesmo
). A equação natural é
- Solução (resposta natural):
Ou usando
:
- Tensões e polaridades:
- A tensão no indutor é
. - No instante inicial
tem-se . Note que a polaridade do indutor se ajusta para manter a corrente (o indutor age como fonte momentânea), e a tensão inicial em módulo é igual à tensão que a fonte fornecia antes, porém com polaridade tal que alimenta a descarga do indutor sobre o resistor. - A tensão no resistor é
em módulo no instante inicial, dissipando energia como calor.
- Energia e conservação:
- A energia inicialmente armazenada
é dissipada integralmente nos resistores ao longo do tempo. - Verificação rápida (integração da potência dissipada):
, mostrando que toda energia magnética vira calor.
- Formas de gráfico (descrição):
- Corrente
: decai exponencialmente a partir de para com constante . - Energia magnética
: decai como (porque é proporcional a ), portanto mais rápido no fator exponencial (constante efetiva ). - Tensão no indutor
: começa em e decai exponencialmente para com a mesma constante (sinal negativo indicando que o indutor fornece tensão para manter a corrente).
Resposta
(a)
(b)
(c)
Gráfico qualitativo:
cresce exponencialmente de
até
com constante
.
(d)
(e) Ao desconectar a fonte e deixar indutor e resistores em série, a corrente inicial permanece
e então decai exponencialmente:
O indutor fornece tensão inicial
(polarity que mantém a corrente) e a energia magnética
é dissipada como calor nos resistores.