Questão 2

Um indutor de autoindutância L=2,0 ~ H e resistência interna r=10 \Omega está conectado em série com um resistor externo \mathrm{R}=30 \Omega e uma fonte ideal de tensão contínua \varepsilon=100 \mathrm{~V}. Inicialmente ( \mathrm{t}<0 ), a chave do circuito está aberta e não há corrente.
Em t=0, uma chave é fechada e isso conecta a fonte ao indutor e ao resistor.
(a) Escreva a equação diferencial para a corrente \mathrm{i}(\mathrm{t}) no circuito para \mathrm{t}>0.
(b) Resolva essa equação e encontre i(t) em função do tempo.
(c) Calcule a constante de tempo τ do circuito e esboce o gráfico qualitativo de i(t).
(d) Determine a energia total armazenada no campo magnético do indutor em um tempo muito grande.
(e) Após atingir o regime estacionário, a chave é selecionada para desligar a fonte e fazer uma
conexão em série do indutor e do resistor. Explique o que acontecerá ao circuito e faça diagramas das grandezas físicas relevantes.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede várias coisas:
  • Dados (peguei estes do enunciado):
    • Indutância do indutor: L=2,0\\ \mathrm{H}.
    • Resistência interna do indutor: r=10\\ \Omega.
    • Resistor externo: R=30\\ \Omega.
    • Fem da fonte (dc): \varepsilon=100\\ \mathrm{V}.
    • Para t<0 a chave está aberta e i(t)=0.
    • Em t=0 a chave é fechada conectando a fonte, o indutor e o resistor em série.
  • O que o enunciado pede:
    (a) escrever a equação diferencial para i(t) para t>0;
    (b) resolver a equação e encontrar i(t) em função do tempo;
    (c) calcular a constante de tempo \tau e esboçar qualitativamente o gráfico de i(t);
    (d) calcular a energia total armazenada no campo magnético do indutor para tempo muito grande (regime permanente);
    (e) depois do regime permanente, a chave é mudada para desconectar a fonte e deixar apenas o indutor em série com o resistor: explicar o que acontece ao circuito e desenhar (descrever) as grandezas relevantes.

Passo 2

Montando a equação pelo KVL (Lei das Malhas). Percorrendo a malha no sentido da corrente i(t) temos soma algébrica das quedas de tensão igual à fem da fonte. As quedas são: queda no resistor externo R igual a R\,i(t), queda na resistência interna r igual a r\,i(t), e tensão no indutor igual a L\,\dfrac{di}{dt} (sinal conforme a convenção de corrente). Portanto a equação de malha é
\varepsilon - r\,i(t) - R\,i(t) - L\,\frac{di}{dt} = 0.
Definindo a resistência total em série
R_{\text{tot}} = r + R,
a equação fica mais simples e em forma padrão:
L\,\frac{di}{dt} + R_{\text{tot}}\,i(t) = \varepsilon.

Passo 3

Explico cada termo da equação (é importante entender para a prova):
  • \,L\frac{di}{dt} é a tensão induzida no indutor que aparece sempre que a corrente muda. A unidade é volt porque L em henry vezes \mathrm{A/s} dá volts.
  • R_{\text{tot}}\,i(t) é a soma das quedas resistivas (interna + externa).
  • \varepsilon é a fonte que tenta manter a diferença de potencial.
    A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem não-homogênea. Escrevendo-a explicitamente com os números do problema:
L\,\frac{di}{dt} + (r+R)\,i(t) = \varepsilon
ou substituindo valores
2,0\,\frac{di}{dt} + 40\,i(t) = 100,
pois r+R=10+30=40\\ \Omega.

Passo 4

Resolver a equação diferencial. Método direto (solução geral = solução da homogênea + particular).
  1. Solução homogênea (resolver L\,\dfrac{di_h}{dt}+R_{\text{tot}} i_h=0):
\frac{di_h}{dt} = -\frac{R_{\text{tot}}}{L}\,i_h
integrando obtemos
i_h(t) = A\,\mathrm{e}^{-\frac{R_{\text{tot}}}{L}t},
onde A é constante a determinar pela condição inicial.
  1. Solução particular (procura-se uma solução constante porque o lado direito é constante):
    Se i_p é constante então \dfrac{di_p}{dt}=0, logo
R_{\text{tot}}\,i_p = \varepsilon \quad\Rightarrow\quad i_p=\frac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}.
  1. Solução geral:
i(t)=i_h(t)+i_p=\frac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}+A\,\mathrm{e}^{-\frac{R_{\text{tot}}}{L}t}.
  1. Condição inicial: antes de fechar a chave i(0^-)=0; imediatamente após fechar ( t=0^+) a corrente não muda instantaneamente num indutor, então i(0)=0. Substituindo t=0:
0 = \frac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}+A \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}.
  1. Portanto a solução completa é
i(t)=\frac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{R_{\text{tot}}}{L}t}\right),\qquad t\ge 0.

Passo 5

Colocando os valores numéricos finais para i(t). Lembre que R_{\text{tot}}=40\\ \Omega, L=2,0\\ \mathrm{H}, \varepsilon=100\\ \mathrm{V}. Então
i(t)=\frac{100}{40}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{40}{2}t}\right)=2,5\left(1-\mathrm{e}^{-20t}\right)\\ \mathrm{A}.
Explico a forma: é uma subida exponencial desde i(0)=0 até i(\infty)=\dfrac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}=2,5\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Constante de tempo \tau. Definição e cálculo:
\tau=\frac{L}{R_{\text{tot}}}=\frac{2,0}{40}=0,05\\ \mathrm{s}=50\\ \mathrm{ms}.
Interpretação física curta: após um intervalo de tempo \tau a corrente atinge 1-\mathrm{e}^{-1}\approx63{,}2\% do valor final. Por exemplo
i(\tau)=2,5\bigl(1-\mathrm{e}^{-1}\bigr)\approx 2,5\cdot 0{,}6321\approx 1{,}58\\ \mathrm{A}.
Esboço qualitativo do gráfico de i(t): curva exponencial crescente que parte de 0 em t=0 e se aproxima assintoticamente de 2,5\\ \mathrm{A} com constante de tempo 0,05\\ \mathrm{s}. Após cerca de 5\tau\approx0,25\\ \mathrm{s} já está praticamente em regime permanente (>99%).

Passo 7

Energia armazenada no campo magnético do indutor em tempo muito grande (regime permanente). Fórmula da energia magnética:
W=\frac{1}{2}L\,I^2,
onde I é a corrente em regime permanente I=\dfrac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}. Substituindo:
W=\frac{1}{2}\cdot 2,0\cdot (2,5)^2 = 1,0\cdot 6{,}25 = 6{,}25\\ \mathrm{J}.

Passo 8

O que acontece quando, após atingir o regime estacionário, a chave é movida para desconectar a fonte e deixar o indutor e o resistor em série (resposta à parte e)?
  1. Situação instantânea ao mudar a chave:
  • No instante imediatamente após a chave ser trocada a corrente no indutor não pode mudar instantaneamente, então i(0^+)=I_0=2,5\\ \mathrm{A}.
  • Agora o circuito é apenas o indutor em série com as resistências (mesmo R_{\text{tot}}=40\\ \Omega). A equação natural é
L\,\frac{di}{dt}+R_{\text{tot}}\,i=0.
  1. Solução (resposta natural):
i(t)=I_0\,\mathrm{e}^{-\frac{R_{\text{tot}}}{L}t}=2,5\,\mathrm{e}^{-20t}\\ \mathrm{A},\qquad t\ge 0\\ (\text{após desconexão da fonte}).óã
Ou usando \tau=0,05\\ \mathrm{s}:
i(t)=2,5\,\mathrm{e}^{-t/\tau}.
  1. Tensões e polaridades:
  • A tensão no indutor é v_L(t)=L\,\dfrac{di}{dt}=-L\frac{R_{\text{tot}}}{L}I_0\,\mathrm{e}^{-\frac{R_{\text{tot}}}{L}t}=-R_{\text{tot}}I_0\,\mathrm{e}^{-\frac{R_{\text{tot}}}{L}t}.
  • No instante inicial t=0^+ tem-se v_L(0^+)=-R_{\text{tot}}I_0=-40\cdot 2,5=-100\\ \mathrm{V}. Note que a polaridade do indutor se ajusta para manter a corrente (o indutor age como fonte momentânea), e a tensão inicial em módulo é igual à tensão que a fonte fornecia antes, porém com polaridade tal que alimenta a descarga do indutor sobre o resistor.
  • A tensão no resistor é v_R(t)=R_{\text{tot}}\,i(t)=100\,\mathrm{e}^{-20t}\\ \mathrm{V} em módulo no instante inicial, dissipando energia como calor.
  1. Energia e conservação:
  • A energia inicialmente armazenada W(0)=\tfrac{1}{2}L I_0^2=6,25\\ \mathrm{J} é dissipada integralmente nos resistores ao longo do tempo.
  • Verificação rápida (integração da potência dissipada): \displaystyle \int_0^\infty R_{\text{tot}} i^2(t)\,dt = \frac{1}{2}L I_0^2, mostrando que toda energia magnética vira calor.
  1. Formas de gráfico (descrição):
  • Corrente i(t): decai exponencialmente a partir de 2,5\\ \mathrm{A} para 0 com constante \tau=0,05\\ \mathrm{s}.
  • Energia magnética W(t)=\tfrac{1}{2}L i^2(t): decai como \mathrm{e}^{-2t/\tau} (porque é proporcional a i^2), portanto mais rápido no fator exponencial (constante efetiva \tau/2).
  • Tensão no indutor v_L(t): começa em -100\\ \mathrm{V} e decai exponencialmente para 0 com a mesma constante \tau (sinal negativo indicando que o indutor fornece tensão para manter a corrente).

Resposta

(a) L\displaystyle\frac{di}{dt}+(r+R)\,i(t)=\varepsilon.
(b) \displaystyle i(t)=\frac{\varepsilon}{r+R}\Bigl(1-\mathrm{e}^{-\frac{(r+R)}{L}t}\Bigr)=2,5\bigl(1-\mathrm{e}^{-20t}\bigr)\\ \mathrm{A}.
(c) \displaystyle \tau=\frac{L}{r+R}=0,05\\ \mathrm{s}. Gráfico qualitativo: i(t) cresce exponencialmente de 0 até 2,5\\ \mathrm{A} com constante \tau=0,05\\ \mathrm{s}.
(d) \displaystyle W=\tfrac{1}{2}L I^2=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot(2{,}5)^2=6{,}25\\ \mathrm{J}.
(e) Ao desconectar a fonte e deixar indutor e resistores em série, a corrente inicial permanece I_0=2{,}5\\ \mathrm{A} e então decai exponencialmente: \displaystyle i(t)=2{,}5\,\mathrm{e}^{-20t}\\ \mathrm{A}. O indutor fornece tensão inicial \,v_L(0)=-100\\ \mathrm{V} (polarity que mantém a corrente) e a energia magnética 6{,}25\\ \mathrm{J} é dissipada como calor nos resistores.

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