Um bloco, preso a uma mola ideal cuja constante elástica é 16 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, tem MHS de frequência 2,0 \mathrm{~Hz}. Determine a massa do bloco.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A constante elástica da mola é k=16\\ \mathrm{N/m}.
  • A frequência do MHS é f=2,0\\ \mathrm{Hz}.
O que se pede:
  • Determinar a massa m do bloco.

Passo 2

Vamos lembrar a relação básica entre as quantidades envolvidas no movimento harmônico simples de um bloco preso a uma mola ideal.
A equação de movimento (lei de Newton aplicada ao bloco) leva à equação diferencial
m\ddot{x}+kx=0,
cujos movimentos harmônicos têm frequência angular \omega dada por
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Aqui:
  • m é a massa que queremos (em \mathrm{kg}),
  • k é a constante da mola (em \mathrm{N/m}),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}).
Além disso, a frequência angular \omega está ligada à frequência usual f (em \mathrm{Hz}) por
\omega=2\pi f.
Essas duas fórmulas são fundamentais para resolver o problema. Vou explicar rapidamente: a frequência angular \omega mede quantos radianos por segundo o sistema percorre; a frequência f mede quantas oscilações por segundo. A relação \omega=2\pi f traduz que cada oscilação corresponde a 2\pi radianos.

Passo 3

Isolamos m a partir de \omega=\sqrt{k/m}. Elevando ao quadrado:
\omega^2=\dfrac{k}{m}.
Reescrevendo para m:
m=\dfrac{k}{\omega^2}.
Substituindo \omega=2\pi f obtemos a forma prática
m=\dfrac{k}{(2\pi f)^2}=\dfrac{k}{4\pi^2 f^2}.
Nesta expressão cada símbolo já foi explicado: k em \mathrm{N/m}, f em \mathrm{Hz} e m resultará em \mathrm{kg}.

Passo 4

Agora substituímos os valores dados: k=16 e f=2,0.
Primeiro observar f^2=(2,0)^2=4. Então
m=\dfrac{16}{4\pi^2\cdot 4}=\dfrac{16}{16\pi^2}=\dfrac{1}{\pi^2}.
Isso é uma simplificação muito conveniente — o resultado fica exato em termos de \pi.

Passo 5

Vamos avaliar numericamente. Usando \pi\approx 3,1416 temos
\pi^2\approx 3,1416^2\approx 9,8696,
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m=\dfrac{1}{\pi^2}\approx \dfrac{1}{9,8696}\approx 0,10132\\ \mathrm{kg}.
Arredondando para três algarismos significativos, m\approx 0,101\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Cheque rápido de unidades: no denominador temos \omega^2 com unidades (\mathrm{rad/s})^2; como \mathrm{N/m}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-2}, a razão k/\omega^2 tem unidade \mathrm{kg}, como esperado.
Dica para a prova: memorizar as fórmulas
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\quad\text{e}\quad f=\dfrac{\omega}{2\pi}
permite resolver qualquer questão semelhante muito rápido. Se souber k e f, use diretamente m=\dfrac{k}{4\pi^2 f^2}.

Resposta

m\approx 0,101\\ \mathrm{kg}

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