Definindo as Características: Um objeto oscilando completa 10 ciclos em 5 segundos, movendo-se uma distância máxima de 20 cm para cada lado de seu ponto central.
A Linguagem Natural da Física: Em física, preferimos descrever o ritmo em radianos por segundo.
(a) Um ciclo completo corresponde a 2 \pi radianos. Se a frequência f é o número de ciclos por segundo, deduza a fórmula que converte f em frequência angular \omega.
(b) Calcule \omega para o oscilador da questão 1 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações fornecidas:
    • O objeto completa 10 ciclos em 5 segundos.
    • O objeto se move uma distância máxima de 20 cm para cada lado do ponto central (ou seja, amplitude A=20 cm).
  • Perguntas:
    • (a) Deduzir a fórmula que converte a frequência f (ciclos por segundo) em frequência angular \omega (radianos por segundo).
    • (b) Calcular \omega para o oscilador descrito.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicadinho e devagar):
  • A frequência f mede quantos ciclos ocorrem por segundo. Então, se temos N ciclos em T segundos, f=\frac{N}{T}.Aqui f tem unidade \mathrm{Hz} (hertz), que é o mesmo que “ciclos por segundo”.
  • Um ciclo completo corresponde a 2\pi radianos. Isso significa que cada vez que a oscilação faz um ciclo inteiro, a fase avançou 2\pi rad.
  • A frequência angular \omega é a taxa de variação da fase em radianos por segundo. Se cada ciclo tem 2\pi rad e ocorrem f ciclos por segundo, então \omega é “quantos radianos por segundo” o movimento percorre.

Passo 3

Deduza a relação entre \omega e f (passo a passo, sem pular):
  • Cada ciclo = 2\pi rad.
  • Se há f ciclos em 1 segundo, então em 1 segundo a fase avança f vezes 2\pi rad.
  • Logo a frequência angular \omega (radianos por segundo) é
\omega = 2\pi \cdot f.
Isto é a fórmula pedida: multiplica-se a frequência em ciclos/s por 2\pi para obter rad/s.

Passo 4

Um exemplo rápido para fixar:
  • Se f=1\\ \mathrm{Hz} (um ciclo por segundo), então \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s}.
    Isso bate com a ideia: um ciclo = 2\pi rad em um segundo.

Passo 5

Agora calcule f para o oscilador do enunciado:
  • O enunciado diz N=10 ciclos em T=5 s, então
f=\frac{10}{5}=2\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Use a fórmula \omega=2\pi f com f=2\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi \cdot 2 = 4\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Cálculo aproximado em decimal (útil na prova se pedirem valor numérico):
  • Usando \pi \approx 3,1416,
\omega \approx 4\cdot 3,1416 = 12,5664\\ \mathrm{rad/s}.
Observação: a amplitude A=20 cm não é necessária para encontrar \omega; \omega depende só de quantos ciclos por segundo ocorrem.

Resposta

(a) \omega = 2\pi f
(b) \omega = 4\pi\\ \mathrm{rad/s} \approx 12,5664\\ \mathrm{rad/s}

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