Um bloco prismático de madeira (densidade 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) flutua em água.
Determine:
a) A fração do volume submerso
b) Se o bloco tiver volume total de 0,2 \mathrm{~m}^{3}, qual o volume submerso?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá estes dados:
  • Dados fornecidos:
    • Densidade do bloco de madeira: \rho_{\text{bloco}} = 600\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • (Para o item b) Volume total do bloco: V = 0,2\\ \mathrm{m^3}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a fração do volume do bloco que fica submersa quando ele flutua em água?
    • (b) Se V = 0,2\\ \mathrm{m^3}, qual é o volume submerso?
  • Observação que vou usar (valor padrão): densidade da água líquida pura à temperatura ambiente \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á.

Passo 2

Vamos entender os conceitos básicos (com calma, passo a passo).
  • Densidade: a densidade \rho de um corpo é a sua massa por unidade de volume. Em fórmula: \rho = \dfrac{m}{V}, onde:
    • \rho é a densidade (em \mathrm{kg/m^3}),
    • m é a massa (em \mathrm{kg}),
    • V é o volume (em \mathrm{m^3}).
      Ex.: se um bloco tem \rho = 600\\ \mathrm{kg/m^3} e volume 1\\ \mathrm{m^3}, sua massa é m=\rho V=600\\ \mathrm{kg}.
  • Peso do bloco: a força peso W é W = m g. Substituindo m=\rho V temos: W = \rho_{\text{bloco}}\,V\,g,onde g é a aceleração da gravidade (essa g vai aparecer em todas as forças peso e empuxo e normalmente se cancela).
  • Empuxo (princípio de Arquimedes): um corpo imerso em um fluido sofre uma força vertical para cima igual ao peso do fluido deslocado. Se o volume submerso for V_{\text{sub}}, o empuxo F_b vale F_b = \rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g,onde \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (aqui, água).

Passo 3

Condição de equilíbrio para flutuação: quando o bloco flutua sem afundar nem subir, o empuxo iguala o peso:
F_b = W.
Substituindo as expressões acima obtemos a equação fundamental que vamos usar:
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g = \rho_{\text{bloco}}\,V\,g.á
Aqui:
  • \rho_{\text{água}}á é a densidade da água ( 1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • V_{\text{sub}} é o volume do bloco submerso (incógnita),
  • \rho_{\text{bloco}} e V são dados,
  • g aparece em ambos os lados e será cancelado.

Passo 4

Simplificamos a equação cancelando g e isolando a razão entre volumes:
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}} = \rho_{\text{bloco}}\,V \quad\Rightarrow\quad \frac{V_{\text{sub}}}{V} = \frac{\rho_{\text{bloco}}}{\rho_{\text{água}}}.áá
Interpretação: a fração do volume submerso é igual à razão entre a densidade do bloco e a densidade do fluido. Isso é intuitivo: quanto mais leve (menor densidade) o bloco for em relação à água, menor a fração que precisa ficar submersa para deslocar peso suficiente.

Passo 5

Agora calculamos numericamente a fração submersa usando os valores fornecidos:
\frac{V_{\text{sub}}}{V} = \frac{\rho_{\text{bloco}}}{\rho_{\text{água}}} = \frac{600}{1000} = 0,6.á
Em porcentagem isso é 0,6 = 60\%. Ou seja, sessenta por cento do volume do bloco fica submerso quando flutua em água.

Passo 6

Para o item (b), aplicamos a fração ao volume total dado V=0,2\\ \mathrm{m^3}:
V_{\text{sub}} = 0,6 \times 0,2\\ \mathrm{m^3} = 0,12\\ \mathrm{m^3}.
Explicando a conta: 6 \times 2 = 12 e colocando as casas decimais (duas casas no produto) obtemos 0,12.

Passo 7

Checagem rápida por intuição: o bloco tem densidade menor que a água (600 < 1000), então flutua; como é 60% da densidade da água, faz sentido que 60% do volume fique submerso. Vai dar certo na prova — respira, você entendeu a ideia!

Resposta

0,6 = 60\%
0,12\\ \mathrm{m^3}

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