Uma bobina circular com 15 espiras de 22 c m de diâmetro está no plano x y. A corrente em cada espira da bobina é 7,6 A no sentido horário, e um campo magnético externo \vec{B}=(0,55 \hat{i}+0,60 \hat{j}-0,65 \hat{k}) T passa através da bobina. Determine: (a) o momento magnético da bobina, \vec{\mu}; (b) o torque sobre a bobina devido ao campo magnético externo; (c) A energia potencial U da bobina no campo magnético.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre uma bobina circular multi-espiras colocada no plano xy:
  • (a) o momento magnético da bobina, \vec{\mu};
  • (b) o torque sobre a bobina devido ao campo magnético externo \vec{B};
  • (c) a energia potencial U da bobina no campo magnético.
Dados fornecidos (todos relevantes):
  • número de espiras: N=15;
  • diâmetro da espira: 22\\ \text{cm}, portanto raio r=\tfrac{22}{2}\\ \text{cm}=11\\ \text{cm}=0,11\\ \text{m};
  • corrente em cada espira: I=7{,}6\\ \text{A};
  • campo magnético externo: \vec{B}=(0{,}55\\ \hat{i}+0{,}60\\ \hat{j}-0{,}65\\ \hat{k})\\ \text{T};
  • a bobina está no plano xy e a corrente é “no sentido horário”. Vou adotar a convenção natural: “sentido horário” visto por um observador olhando para a bobina a partir do eixo positivo z (ou seja, olhando de cima, para o plano xy). Essa escolha define a direção do vetor momento magnético por meio da regra da mão direita (vou explicar isso adiante).

Passo 2

Vamos calcular a área de uma espira circular e explicar a fórmula usada.
A área de um círculo de raio r é dada por
A=\pi r^{2},
onde r é o raio (em metros) e \pi\approx3{,}14159265. Aqui r=0{,}11\\ \text{m}, então
A=\pi(0{,}11)^{2}=\pi(0{,}0121)=0{,}038013\\ \text{m}^{2}.
(Arredondei a área para 0{,}038013\\ \text{m}^{2} mantendo casas suficientes para os próximos passos.)
Explicação didática curta: essa fórmula vem da geometria do círculo; no contexto da bobina, cada espira tem essa área; o vetor área de cada espira tem módulo A e direção perpendicular ao plano da espira (ou seja, ao plano xy), apontando para cima ou para baixo conforme a regra da mão direita.

Passo 3

Agora a definição do momento magnético de uma bobina de N espiras:
\vec{\mu}=N I \vec{A},
onde
  • N é o número de espiras,
  • I é a corrente (em ampère),
  • \vec{A} é o vetor área: \vec{A}=A\hat{n}, com A a área da espira e \hat{n} o versor normal dado pela regra da mão direita (o polegar aponta na direção de \vec{\mu} se os dedos fecham no sentido da corrente).
Determinar a direção de \vec{A} (e então de \vec{\mu}):
  • A corrente é “no sentido horário” vista do eixo positivo z (conforme assumi em Passo 1). Use a regra da mão direita: se os dedos seguem a corrente (horário visto de cima), o polegar aponta para baixo, isto é na direção -\hat{k}. Logo \vec{\mu} aponta no sentido -\hat{k}.
Cálculo numérico do módulo:
|\vec{\mu}| = N I A = 15 \times 7{,}6 \times 0{,}038013.
Vamos multiplicar em etapas (mostrando como fazer sem calculadora avançada):
  • Primeiro I\cdot A = 7{,}6 \times 0{,}038013 \approx 0{,}2889008 (multiplique 0{,}038013 por 7 = 0{,}266091 e por 0{,}6 = 0{,}0228078, some);
  • Depois N\cdot (I A) = 15\times 0{,}2889008 \approx 4{,}333512.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais úteis), obtemos
|\vec{\mu}|\approx 4{,}33\\ \text{A}\cdot\text{m}^{2}.
Como diremos, \vec{\mu} aponta para -\hat{k}, então
\vec{\mu}=-4{,}33\,\hat{k}\\ \text{A}\cdot\text{m}^{2}.
Observação didática: o momento magnético tem unidade de corrente × área, que é \text{A}\cdot\text{m}^{2}. Fisicamente, \vec{\mu} é o “tamanho” do dipolo magnético criado pela corrente e sua orientação indica o polo norte do dipolo.

Passo 4

Agora o torque exercido sobre um dipolo magnético num campo magnético externo. Fórmula vetorial:
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B},
onde \times é o produto vetorial (cross product). Explicação didática do produto vetorial em componentes: se \vec{\mu}=(\mu_{x},\mu_{y},\mu_{z}) e \vec{B}=(B_{x},B_{y},B_{z}), então
\vec{\tau}=(\mu_{y}B_{z}-\mu_{z}B_{y})\hat{i}+(\mu_{z}B_{x}-\mu_{x}B_{z})\hat{j}+(\mu_{x}B_{y}-\mu_{y}B_{x})\hat{k}.
No nosso caso já sabemos \vec{\mu}=(0,0,-4{,}33)\\ \text{A}\cdot\text{m}^{2} (componentes em ordem x,y,z) e \vec{B}=(0{,}55,0{,}60,-0{,}65)\\ \text{T}. Então as componentes do torque são:
  • componente x:
\tau_{x}=\mu_{y}B_{z}-\mu_{z}B_{y}=0 -(-4{,}33)\times 0{,}60 = 4{,}33\times 0{,}60,
logo \tau_{x}\approx 2{,}60\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • componente y:
\tau_{y}=\mu_{z}B_{x}-\mu_{x}B_{z}=(-4{,}33)\times 0{,}55 - 0 = -4{,}33\times 0{,}55,
logo \tau_{y}\approx -2{,}38\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • componente z:
\tau_{z}=\mu_{x}B_{y}-\mu_{y}B_{x}=0-0=0.
Portanto o vetor torque é aproximadamente
\vec{\tau}\approx 2{,}60\,\hat{i}-2{,}38\,\hat{j}+0\,\hat{k}\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Breve intuição física: o torque tende a girar o plano da bobina para alinhar \vec{\mu} com \vec{B}; aqui o torque tem componentes nos eixos x e y que tentam realizar esse alinhamento.

Passo 5

Finalmente a energia potencial magnética de um dipolo magnético no campo:
U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}.
Explicação didática: o produto escalar \vec{\mu}\cdot\vec{B} mede quão “alinhados” estão \vec{\mu} e \vec{B}; o sinal negativo garante que a energia é mínima quando \vec{\mu} está alinhado com \vec{B}.
Faça o produto escalar com as componentes: \vec{\mu}=(0,0,-4{,}33) e \vec{B}=(0{,}55,0{,}60,-0{,}65), então
\vec{\mu}\cdot\vec{B}=0\cdot 0{,}55 + 0\cdot 0{,}60 + (-4{,}33)\cdot(-0{,}65)=4{,}33\times 0{,}65.
Logo
U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B} = -\bigl( -4{,}33\times -0{,}65 \bigr).
Cuidado com os sinais: mais direto é usar \vec{\mu}\cdot\vec{B}=(-4{,}33)(-0{,}65)=+2{,}8165, então
U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}=-2{,}8165\\ \text{J}.
Arredondando adequadamente,
U\approx -2{,}82\\ \text{J}.
Interpretação: energia negativa indica que a configuração atual tem energia menor do que a de referência (o dipolo tende a alinhar-se com o campo).

Resposta

(a) \displaystyle \vec{\mu}=-4{,}33\,\hat{k}\\ \text{A}\cdot\text{m}^{2}\n
(b) \displaystyle \vec{\tau}=2{,}60\,\hat{i}-2{,}38\,\hat{j}\\ \text{N}\cdot\text{m}\n
(c) \displaystyle U=-2{,}82\\ \text{J}

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