Uma bobina circular com 15 espiras de
de diâmetro está no plano
. A corrente em cada espira da bobina é
no sentido horário, e um campo magnético externo
passa através da bobina. Determine: (a) o momento magnético da bobina,
; (b) o torque sobre a bobina devido ao campo magnético externo; (c) A energia potencial
da bobina no campo magnético.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre uma bobina circular multi-espiras colocada no plano
:
- (a) o momento magnético da bobina,
; - (b) o torque sobre a bobina devido ao campo magnético externo
; - (c) a energia potencial
da bobina no campo magnético.
Dados fornecidos (todos relevantes):
- número de espiras:
; - diâmetro da espira:
, portanto raio ; - corrente em cada espira:
; - campo magnético externo:
; - a bobina está no plano
e a corrente é “no sentido horário”. Vou adotar a convenção natural: “sentido horário” visto por um observador olhando para a bobina a partir do eixo positivo (ou seja, olhando de cima, para o plano ). Essa escolha define a direção do vetor momento magnético por meio da regra da mão direita (vou explicar isso adiante).
Passo 2
Vamos calcular a área de uma espira circular e explicar a fórmula usada.
A área de um círculo de raio
é dada por
onde
é o raio (em metros) e
. Aqui
, então
(Arredondei a área para
mantendo casas suficientes para os próximos passos.)
Explicação didática curta: essa fórmula vem da geometria do círculo; no contexto da bobina, cada espira tem essa área; o vetor área de cada espira tem módulo
e direção perpendicular ao plano da espira (ou seja, ao plano
), apontando para cima ou para baixo conforme a regra da mão direita.
Passo 3
Agora a definição do momento magnético de uma bobina de
espiras:
onde
-
é o número de espiras, -
é a corrente (em ampère), -
é o vetor área: , com a área da espira e o versor normal dado pela regra da mão direita (o polegar aponta na direção de se os dedos fecham no sentido da corrente).
Determinar a direção de
(e então de
):
- A corrente é “no sentido horário” vista do eixo positivo
(conforme assumi em Passo 1). Use a regra da mão direita: se os dedos seguem a corrente (horário visto de cima), o polegar aponta para baixo, isto é na direção . Logo aponta no sentido .
Cálculo numérico do módulo:
Vamos multiplicar em etapas (mostrando como fazer sem calculadora avançada):
- Primeiro
(multiplique por = e por = , some); - Depois
.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais úteis), obtemos
Como diremos,
aponta para
, então
Observação didática: o momento magnético tem unidade de corrente × área, que é
. Fisicamente,
é o “tamanho” do dipolo magnético criado pela corrente e sua orientação indica o polo norte do dipolo.
Passo 4
Agora o torque exercido sobre um dipolo magnético num campo magnético externo. Fórmula vetorial:
onde
é o produto vetorial (cross product). Explicação didática do produto vetorial em componentes: se
e
, então
No nosso caso já sabemos
(componentes em ordem
) e
. Então as componentes do torque são:
- componente
:
logo
.
- componente
:
logo
.
- componente
:
Portanto o vetor torque é aproximadamente
Breve intuição física: o torque tende a girar o plano da bobina para alinhar
com
; aqui o torque tem componentes nos eixos
e
que tentam realizar esse alinhamento.
Passo 5
Finalmente a energia potencial magnética de um dipolo magnético no campo:
Explicação didática: o produto escalar
mede quão “alinhados” estão
e
; o sinal negativo garante que a energia é mínima quando
está alinhado com
.
Faça o produto escalar com as componentes:
e
, então
Logo
Cuidado com os sinais: mais direto é usar
, então
Arredondando adequadamente,
Interpretação: energia negativa indica que a configuração atual tem energia menor do que a de referência (o dipolo tende a alinhar-se com o campo).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)