Um próton se move em uma região onde há um campo magnético \vec{B}=(0,45 \hat{i}+0,38 \hat{j}) T e um campo elétrico \vec{E}=(3 \hat{i}-4,2 \hat{j}) \times 10^{3} N / C. Em um instante dado, a velocidade do próton é \vec{v}=(6 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine as componentes da força total sobre o próton.

Passo 1

O enunciado pede as componentes da força total sobre um próton que se encontra simultaneamente em campos elétrico e magnético dados. Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
\vec{B}=(0,45\hat{i}+0,38\hat{j})\\ \mathrm{T}
\vec{E}=(3\hat{i}-4,2\hat{j})\times 10^{3}\\ \mathrm{N/C}
\vec{v}=(6\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}
O que se pede: as componentes F_x, F_y e F_z da força total sobre o próton, em newtons.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a força total sobre uma partícula de carga q num campo elétrico \vec{E} e magnético \vec{B} é dada pela força de Lorentz,
\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).
Aqui:
  • q é a carga do próton: q=+e com e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial entre velocidade e campo magnético, que dá a contribuição magnética por unidade de carga (unidade \mathrm{N/C} quando multiplicada por q vira newtons).

Passo 3

Escrevo explicitamente os componentes numéricos (transformando os fatores \times 10^{3} e usando separador decimal com vírgula):
\vec{B}=(0,45,\;0,38,\;0)\\ \mathrm{T}, \qquad \vec{E}=(3000,\;-4200,\;0)\\ \mathrm{N/C}, \qquad \vec{v}=(6000,\;3000,\;-5000)\\ \mathrm{m/s}.
Agora calculamos \vec{v}\times\vec{B}. A fórmula componente a componente (usando B_z=0) é:
\vec{v}\times\vec{B}=\bigl(v_y B_z - v_z B_y,\; -(v_x B_z - v_z B_x),\; v_x B_y - v_y B_x\bigr).

Passo 4

Calculando cada componente de \vec{v}\times\vec{B}:
  • Componente x:
(v\times B)_x = v_y B_z - v_z B_y = 3000\cdot 0 - (-5000)\cdot 0,38 = 5000\cdot 0,38 = 1900.
  • Componente y:
(v\times B)_y = -\bigl(v_x B_z - v_z B_x\bigr) = -\bigl(6000\cdot 0 - (-5000)\cdot 0,45\bigr) = -\bigl(0 + 2250\bigr) = -2250.
(ou usar a forma simplificada dada no algoritmo: resulta v_z B_x = -5000\cdot0,45=-2250.)
  • Componente z:
(v\times B)_z = v_x B_y - v_y B_x = 6000\cdot 0,38 - 3000\cdot 0,45 = 2280 - 1350 = 930.
Então
\vec{v}\times\vec{B}=(1900,\;-2250,\;930)\\ \mathrm{N/C}.
Observação rápida de unidades: \mathrm{m/s}\times\mathrm{T} é equivalente a \mathrm{N/C}, portanto podemos somar diretamente com \vec{E}.

Passo 5

Somamos \vec{E} e \vec{v}\times\vec{B} (isso é o campo efetivo por unidade de carga):
\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}=(3000+1900,\;-4200-2250,\;0+930)=(4900,\;-6450,\;930)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Multiplicamos pelo valor da carga do próton q=e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} componente a componente para obter a força em newtons:
  • Componente x:
F_x = q\,(E_x+(v\times B)_x) = 1,602\times10^{-19}\cdot 4900 = 7,8498\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.
  • Componente y:
F_y = 1,602\times10^{-19}\cdot (-6450) = -1,03329\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.
  • Componente z:
F_z = 1,602\times10^{-19}\cdot 930 = 1,48986\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Arredondando para três algarismos significativos (próprio para medidas de constantes fundamentais) e apresentando em notação científica com vírgula decimal:
F_x \approx 7,85\times10^{-16}\\ \mathrm{N}, \qquad F_y \approx -1,03\times10^{-15}\\ \mathrm{N}, \qquad F_z \approx 1,49\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.

Resposta

F_x=7,85\times10^{-16}\\ \mathrm{N}
F_y=-1,03\times10^{-15}\\ \mathrm{N}
F_z=1,49\times10^{-16}\\ \mathrm{N}

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