Uma onda estacionária numa corda é representada pela função de onda:
y(x, t)=0,08 m \operatorname{sen}\left[\left(\frac{3 \pi}{2} m^{-1}\right) x\right] \cos \left[\left(10 \pi s^{-1}\right) t\right]
Determine o período, o comprimento de onda e o número de onda dessa onda.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda estacionária
y(x,t)=0,08\\ \text{m}\,\operatorname{sen}\!\left[\left(\frac{3\pi}{2}\\ \text{m}^{-1}\right)x\right]\cos\!\left[\left(10\pi\\ \text{s}^{-1}\right)t\right].
Pede-se:
  • o período T;
  • o comprimento de onda \lambda;
  • o número de onda k.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A = 0,08\\ \text{m} \quad(\text{amplitude}),
k = \frac{3\pi}{2}\\ \text{m}^{-1}\quad(\text{coeficiente que multiplica }x),
\omega = 10\pi\\ \text{s}^{-1}\quad(\text{coeficiente que multiplica }t).

Passo 2

Relembrando a forma padrão e as relações úteis (com explicação): uma onda estacionária pode ser escrita como
y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t).
Aqui:
  • k é o número de onda (unidade \text{m}^{-1}); ele está relacionado ao comprimento de onda \lambda pela fórmula
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Isso significa que, para obter \lambda, isolamos \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
  • \omega é a frequência angular (unidade \text{s}^{-1}); ela está relacionada à frequência f e ao período T por
\omega=2\pi f \quad\text{e}\quad T=\frac{1}{f}.
Combinando, uma fórmula direta para o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicando em linguagem simples: k diz quantas “ondinhas” cabem por metro (em termos angulares) e \omega diz quantas “voltas” por segundo a oscilação temporal dá; de \omega obtemos o período T e de k obtemos o comprimento de onda \lambda.

Passo 3

Cálculo do período T a partir de \omega.
Temos \omega=10\pi\\ \text{s}^{-1}. Usando
T=\frac{2\pi}{\omega},
substituímos:
T=\frac{2\pi}{10\pi}.
Agora simplificamos: o \pi cancela e 2/10=1/5. Portanto
T=\frac{1}{5}\\ \text{s}=0,2\\ \text{s}.
Comentário amigável: isso significa que a oscilação temporal completa uma volta em 0,2 segundos, ou seja, a frequência é f=5\\ \text{Hz}.

Passo 4

Cálculo do comprimento de onda \lambda a partir de k.
Temos k=\dfrac{3\pi}{2}\\ \text{m}^{-1}. Usando
\lambda=\frac{2\pi}{k},
substituímos:
\lambda=\frac{2\pi}{\tfrac{3\pi}{2}}.
Para dividir por uma fração, multiplicamos pelo inverso:
\lambda=2\pi\cdot\frac{2}{3\pi}.
O \pi cancela e sobra
\lambda=\frac{4}{3}\\ \text{m}.
Em decimal isso é \lambda\approx 1,333\ldots\\ \text{m} (ou arredondando, 1,33\\ \text{m}).

Passo 5

Verificação / expressão do número de onda k em forma simbólica e numérica.
Do enunciado já tínhamos
k=\frac{3\pi}{2}\\ \text{m}^{-1}.
Se quisermos o valor numérico aproximado, calculamos \frac{3\pi}{2}\approx 1{,}5\pi. Como \pi\approx 3{,}14159,
k\approx 4{,}712\\ \text{m}^{-1}
(ou arredondando 4{,}71\\ \text{m}^{-1}).

Resposta

T=0,2\\ \text{s}
\lambda=\dfrac{4}{3}\\ \text{m}\\ (\approx 1,33\\ \text{m})
k=\dfrac{3\pi}{2}\\ \text{m}^{-1}\\ (\approx 4,71\\ \text{m}^{-1})

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