Uma bobina circular com 600 espiras enroladas de modo compacto possui diâmetro igual a 4 cm e conduz uma corrente de 0,5 \mathrm{~A}. Qual é o modulo do campo magnético
em um ponto sobre o eixo da bobina afastado 8 cm de seu centro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está destacado:
  • Dados: N=600
D=4\\ \mathrm{cm}
I=0,5\\ \mathrm{A}
\text{o ponto está a }8\\ \mathrm{cm}\text{ do centro da bobina (ao longo do eixo)}á
  • Informações que extraí do enunciado: R=\frac{D}{2}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}
x=8\\ \mathrm{cm}=0,08\\ \mathrm{m}
  • O que o problema pede:
    Encontrar o módulo do campo magnético no ponto sobre o eixo da bobina, a uma distância x do centro, considerando que a bobina tem N espiras compactas e conduz corrente I.

Passo 2

Conceito-chave (a fórmula que vamos usar) — campo no eixo de uma espira circular:
  • Para uma única espira circular de raio R com corrente I, o campo magnético no ponto sobre o eixo da espira a distância x do centro é dado por
B_{\text{espira}}(x)=\frac{\mu_{0}\,I\,R^{2}}{2\,(R^{2}+x^{2})^{3/2}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Explicando a fórmula (intuição e sentido físico): por simetria, componentes do campo radiais se cancelam ao integrar todos os elementos de corrente; só sobra a componente ao longo do eixo. A expressão acima é o resultado da integração da lei de Biot–Savart aplicada à espira (vou esboçar a integração no próximo passo para você ver de onde vem).

Passo 3

Derivação passo a passo (esboço integrado, para entender e saber aplicar na prova):
  • A lei de Biot–Savart para um elemento de corrente I\,d\boldsymbol{\ell} que gera um campo em \boldsymbol{r} é
d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r}}{r^{3}}.
  • Escolhemos coordenadas: eixo z passa pelo centro da espira; o ponto onde queremos B está em z=x. Um elemento da espira em ângulo \varphi tem posição (R\cos\varphi,R\sin\varphi,0) e
d\boldsymbol{\ell}=R\,d\varphi\,(-\sin\varphi,\cos\varphi,0).
  • O vetor \boldsymbol{r} do elemento até o ponto é (-R\cos\varphi,-R\sin\varphi,x) e seu módulo é
r=\sqrt{R^{2}+x^{2}}.
  • Fazer o produto vetorial e selecionar a componente ao longo de z dá (mostrando os termos essenciais)
(d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r})_{z}=R^{2}\,d\varphi.
  • Substituindo em Biot–Savart e integrando \varphi de 0 a 2\pi resulta
B_{z}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{2}\,d\varphi}{(R^{2}+x^{2})^{3/2}} =\frac{\mu_{0}I\,R^{2}}{2\,(R^{2}+x^{2})^{3/2}}.
  • Essa é a fórmula citada no passo anterior. A derivação completa usa cálculo vetorial, mas o esqueleto acima mostra por que aparece R^{2} no numerador e (R^{2}+x^{2})^{3/2} no denominador.

Passo 4

Campo da bobina com N espiras compactas:
  • Se as espiras estão muito próximas (enroladas de modo compacto), o campo no eixo é simplesmente N vezes o campo de uma espira:
B(x)=N\cdot B_{\text{espira}}(x)=N\cdot\frac{\mu_{0}I\,R^{2}}{2\,(R^{2}+x^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (faça tudo devagar, passo a passo, sem pular contas):
  • Primeiro escrevo a fórmula a usar:
B(x)=N\cdot\frac{\mu_{0}I\,R^{2}}{2\,(R^{2}+x^{2})^{3/2}}.
  • Valores: N=600,\qquad I=0,5\\ \mathrm{A},\qquad R=0,02\\ \mathrm{m},\qquad x=0,08\\ \mathrm{m},
\mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Calcular R^{2} e x^{2}: R^{2}=(0,02)^{2}=4{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},
x^{2}=(0,08)^{2}=6{,}4\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Somar: R^{2}+x^{2}=6{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular (R^{2}+x^{2})^{3/2}: primeiro a raiz quadrada \sqrt{R^{2}+x^{2}}=\sqrt{6{,}8\times 10^{-3}}\approx 8{,}246\times 10^{-2}\\ \mathrm{m},então (R^{2}+x^{2})^{3/2}=(6{,}8\times 10^{-3})\times(8{,}246\times 10^{-2}) \approx 5{,}607\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcular o numerador N\,\mu_{0}I\,R^{2}/2: \mu_{0}I\,R^{2}=(4\pi\times 10^{-7})\times 0,5\times 4{,}0\times 10^{-4} =8\pi\times 10^{-11}\\ \mathrm{T\cdot m^{3}}.Dividindo por 2 e multiplicando por N=600: \frac{N\,\mu_{0}I\,R^{2}}{2}=600\times\frac{8\pi\times 10^{-11}}{2} =600\times 4\pi\times 10^{-11}=2400\pi\times 10^{-11}.Numérico: 2400\pi\times 10^{-11}\approx 2400\times 3{,}1416\times 10^{-11} \approx 7{,}5398\times 10^{-8}\\ \mathrm{T\cdot m^{3}}.
  • Finalmente dividir pelo denominador (R^{2}+x^{2})^{3/2}: B(x)\approx\frac{7{,}5398\times 10^{-8}}{5{,}607\times 10^{-4}}\\ \mathrm{T} \approx 1{,}3446\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
  • Em unidades práticas: B(x)\approx 1{,}34\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}=134\\ \mu\mathrm{T}.

Passo 6

Interpretação curta e checagem rápida:
  • O valor 1{,}34\times 10^{-4}\\ \mathrm{T} (ou 134\\ \mu\mathrm{T}) tem ordem de grandeza compatível com campos gerados por bobinas de poucas centenas de espiras e correntes pequenas a algumas dezenas de centímetros.
  • Dica prática para prova: decorar a fórmula axial de uma espira e lembrar que para N espiras compactas você multiplica por N. Faça a conversão de cm para m no começo para evitar erros.

Resposta

1{,}34\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}

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