Uma bobina circular com 600 espiras enroladas de modo compacto possui diâmetro igual a 4 cm e conduz uma corrente de
. Qual é o modulo do campo magnético
em um ponto sobre o eixo da bobina afastado 8 cm de seu centro?
em um ponto sobre o eixo da bobina afastado 8 cm de seu centro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está destacado:
- Dados:
- Informações que extraí do enunciado:
- O que o problema pede:
Encontrar o módulo do campo magnético no ponto sobre o eixo da bobina, a uma distânciado centro, considerando que a bobina tem espiras compactas e conduz corrente .
Passo 2
Conceito-chave (a fórmula que vamos usar) — campo no eixo de uma espira circular:
- Para uma única espira circular de raio
com corrente , o campo magnético no ponto sobre o eixo da espira a distância do centro é dado por
onde
é a permeabilidade do vácuo,
.
- Explicando a fórmula (intuição e sentido físico): por simetria, componentes do campo radiais se cancelam ao integrar todos os elementos de corrente; só sobra a componente ao longo do eixo. A expressão acima é o resultado da integração da lei de Biot–Savart aplicada à espira (vou esboçar a integração no próximo passo para você ver de onde vem).
Passo 3
Derivação passo a passo (esboço integrado, para entender e saber aplicar na prova):
- A lei de Biot–Savart para um elemento de corrente
que gera um campo em é
- Escolhemos coordenadas: eixo
passa pelo centro da espira; o ponto onde queremos está em . Um elemento da espira em ângulo tem posição e
- O vetor
do elemento até o ponto é e seu módulo é
- Fazer o produto vetorial e selecionar a componente ao longo de
dá (mostrando os termos essenciais)
- Substituindo em Biot–Savart e integrando
de a resulta
- Essa é a fórmula citada no passo anterior. A derivação completa usa cálculo vetorial, mas o esqueleto acima mostra por que aparece
no numerador e no denominador.
Passo 4
Campo da bobina com
espiras compactas:
- Se as espiras estão muito próximas (enroladas de modo compacto), o campo no eixo é simplesmente
vezes o campo de uma espira:
Passo 5
Substituir os valores numéricos (faça tudo devagar, passo a passo, sem pular contas):
- Primeiro escrevo a fórmula a usar:
- Valores:
- Calcular
e :
- Somar:
- Calcular
: primeiro a raiz quadrada então - Calcular o numerador
: Dividindo por e multiplicando por : Numérico: - Finalmente dividir pelo denominador
: - Em unidades práticas:
Passo 6
Interpretação curta e checagem rápida:
- O valor
(ou ) tem ordem de grandeza compatível com campos gerados por bobinas de poucas centenas de espiras e correntes pequenas a algumas dezenas de centímetros. - Dica prática para prova: decorar a fórmula axial de uma espira e lembrar que para
espiras compactas você multiplica por . Faça a conversão de cm para m no começo para evitar erros.