Se o campo magnético
é uniforme sobre a área delimitada por um círculo de raio
a corrente total passando através do círculo é:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b. 0
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b. 0
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá um campo magnético
uniforme sobre a área delimitada por um círculo de raio
e pergunta qual é a corrente total passando através desse círculo. Foram apresentadas cinco alternativas (a)–(e). As informações relevantes são:
- O campo magnético é uniforme na área do círculo:
tem a mesma magnitude e direção nos pontos dessa superfície. - A superfície considerada é o disco de raio
(a fronteira é a circunferência de raio ). - Queremos a corrente total que atravessa essa superfície (i.e., a corrente atravessando o disco).
Passo 2
Vamos usar a forma integral da lei de Ampère (forma apropriada para relacionar campo magnético ao total de corrente atravessando uma superfície). A lei de Ampère, sem a corrente de deslocamento (situação estacionária), é:
onde:
-
é a integral de linha ao longo da curva fechada que é a fronteira da superfície (a circunferência do círculo); -
é um elemento de comprimento ao longo dessa curva, apontando na direção tangente; -
é a permeabilidade do vácuo (constante); -
é a corrente total atravessando a superfície delimitada por (é o que queremos).
Vou explicar cada termo com calma: a integral de linha calcula a soma (circulação) das componentes tangenciais de
ao redor da fronteira; se essa circulação for zero, então
.
Passo 3
Interpretemos “
é uniforme sobre a área do círculo”. O sentido habitual é que
tem mesma direção e magnitude em todos os pontos do disco. Há duas maneiras de pensar nisso geometricamente:
- caso A:
é perpendicular ao plano do disco (p. ex. entra ou sai do disco de forma uniforme); - caso B:
é tangencial à borda do disco e de módulo constante ao longo da circunferência (ou seja, sempre paralelo a e com mesmo valor na fronteira).
Vamos avaliar ambos os casos para ver o que a lei de Ampère dá em cada situação.
Passo 4
Caso A —
perpendicular ao plano do disco.
Se é perpendicular ao plano do disco, então, ao andar ao longo da circunferência, o vetor
é tangente ao círculo e, portanto, em cada ponto temos
(vetores perpendiculares têm produto escalar zero). Assim a integral de linha é
Se
Pela lei de Ampère segue-se
Ou seja: se o campo é uniforme e perpendicular ao disco, a corrente total atravessando o disco é
.
Passo 5
Caso B —
tangencial à circunferência e de módulo constante
na fronteira.
Neste caso em cada ponto da curva temos paralelo a
e
. Então a integral de linha dá
Neste caso em cada ponto da curva temos
Pela lei de Ampère:
Isso corresponde à alternativa (c). Atenção: embora matematicamente essa conta leve a (c), esse campo
(tangencial e de módulo constante ao longo da circunferência) não é um campo magnético uniforme vetorial em toda a vizinhança — ele teria
dentro do disco, o que exige a presença de correntes dentro do disco. Portanto não é a interpretação mais natural de “
uniforme sobre a área”.
Passo 6
Argumento físico/diferencial (reforço e justificativa da resposta correta).
A forma diferencial da lei de Ampère (para correntes estacionárias) é
A forma diferencial da lei de Ampère (para correntes estacionárias) é
onde
é a densidade de corrente. Se o campo
é realmente uniforme (vetor constante) sobre a região inteira do disco, então
. Daí
nessa região e portanto a corrente total atravessando qualquer superfície dentro dessa região é zero. Em outras palavras: um campo magnético verdadeiramente uniforme (mesma direção e magnitude em toda a região) tem rotação nula e não indica existência de corrente passando pelo disco. Isso confirma que a interpretação física natural leva a
.
Passo 7
Conclusão e escolha: a interpretação usual de “
uniforme sobre a área do círculo” é a de um campo constante na região do disco (por exemplo perpendicular ao plano), o que implica circulação nula e corrente nula. Portanto a alternativa correta é a que dá corrente igual a zero. Você conseguiu — mesmo com as possibilidades ambíguas, o raciocínio físico+Ampère deixa claro que a resposta é zero.
Resposta
b.