Se o campo magnético \vec{B} é uniforme sobre a área delimitada por um círculo de raio R_{r} a corrente total passando através do círculo é:
Escolha uma opção:
◯ a. 2 R B / \mu_{0}
◯ b. 0
◯ c. 2 \pi R B / \mu_{0}
◯ d. \pi R^{2} B / \mu_{0}
◯ e. R B / 2 \mu_{0}

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético \vec{B} uniforme sobre a área delimitada por um círculo de raio \,R_{r}\, e pergunta qual é a corrente total passando através desse círculo. Foram apresentadas cinco alternativas (a)–(e). As informações relevantes são:
  • O campo magnético é uniforme na área do círculo: \vec{B} tem a mesma magnitude e direção nos pontos dessa superfície.
  • A superfície considerada é o disco de raio \,R_{r}\, (a fronteira é a circunferência de raio \,R_{r}\,).
  • Queremos a corrente total que atravessa essa superfície (i.e., a corrente atravessando o disco).

Passo 2

Vamos usar a forma integral da lei de Ampère (forma apropriada para relacionar campo magnético ao total de corrente atravessando uma superfície). A lei de Ampère, sem a corrente de deslocamento (situação estacionária), é:
\oint_{C} \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_{0}\,I_{\text{através}},é
onde:
  • \oint_{C} é a integral de linha ao longo da curva fechada C que é a fronteira da superfície (a circunferência do círculo);
  • d\vec{l} é um elemento de comprimento ao longo dessa curva, apontando na direção tangente;
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (constante);
  • I_{\text{através}}é é a corrente total atravessando a superfície delimitada por C (é o que queremos).
Vou explicar cada termo com calma: a integral de linha calcula a soma (circulação) das componentes tangenciais de \vec{B} ao redor da fronteira; se essa circulação for zero, então \,I_{\text{através}}=0é.

Passo 3

Interpretemos “ \vec{B} é uniforme sobre a área do círculo”. O sentido habitual é que \vec{B} tem mesma direção e magnitude em todos os pontos do disco. Há duas maneiras de pensar nisso geometricamente:
  • caso A: \vec{B} é perpendicular ao plano do disco (p. ex. entra ou sai do disco de forma uniforme);
  • caso B: \vec{B} é tangencial à borda do disco e de módulo constante ao longo da circunferência (ou seja, sempre paralelo a d\vec{l} e com mesmo valor B na fronteira).
Vamos avaliar ambos os casos para ver o que a lei de Ampère dá em cada situação.

Passo 4

Caso A — \vec{B} perpendicular ao plano do disco.
Se \vec{B} é perpendicular ao plano do disco, então, ao andar ao longo da circunferência, o vetor d\vec{l} é tangente ao círculo e, portanto, em cada ponto temos \vec{B}\cdot d\vec{l}=0 (vetores perpendiculares têm produto escalar zero). Assim a integral de linha é
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=0.
Pela lei de Ampère segue-se
\mu_{0}\,I_{\text{através}}=0 \quad\Rightarrow\quad I_{\text{através}}=0.éé
Ou seja: se o campo é uniforme e perpendicular ao disco, a corrente total atravessando o disco é \,0.

Passo 5

Caso B — \vec{B} tangencial à circunferência e de módulo constante B na fronteira.
Neste caso em cada ponto da curva temos \vec{B} paralelo a d\vec{l} e \vec{B}\cdot d\vec{l}=B\,dl. Então a integral de linha dá
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l} = \int_{0}^{2\pi R_{r}} B\,dl = B\,(2\pi R_{r}).
Pela lei de Ampère:
\mu_{0}\,I_{\text{através}} = B\,(2\pi R_{r}) \quad\Rightarrow\quad I_{\text{através}} = \frac{2\pi R_{r} B}{\mu_{0}}.éé
Isso corresponde à alternativa (c). Atenção: embora matematicamente essa conta leve a (c), esse campo \vec{B} (tangencial e de módulo constante ao longo da circunferência) não é um campo magnético uniforme vetorial em toda a vizinhança — ele teria \nabla\times\vec{B}\neq 0 dentro do disco, o que exige a presença de correntes dentro do disco. Portanto não é a interpretação mais natural de “ \vec{B} uniforme sobre a área”.

Passo 6

Argumento físico/diferencial (reforço e justificativa da resposta correta).
A forma diferencial da lei de Ampère (para correntes estacionárias) é
\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J},
onde \vec{J} é a densidade de corrente. Se o campo \vec{B} é realmente uniforme (vetor constante) sobre a região inteira do disco, então \nabla\times\vec{B}=\vec{0}. Daí \vec{J}=\vec{0} nessa região e portanto a corrente total atravessando qualquer superfície dentro dessa região é zero. Em outras palavras: um campo magnético verdadeiramente uniforme (mesma direção e magnitude em toda a região) tem rotação nula e não indica existência de corrente passando pelo disco. Isso confirma que a interpretação física natural leva a I_{\text{através}}=0é.

Passo 7

Conclusão e escolha: a interpretação usual de “ \vec{B} uniforme sobre a área do círculo” é a de um campo constante na região do disco (por exemplo perpendicular ao plano), o que implica circulação nula e corrente nula. Portanto a alternativa correta é a que dá corrente igual a zero. Você conseguiu — mesmo com as possibilidades ambíguas, o raciocínio físico+Ampère deixa claro que a resposta é zero.

Resposta

b. 0

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