Uma bobina retangular de comprimento a e altura b, com N espiras, gira com velocidade angular omega na presença de um campo magnético uniforme e constante B. A bobina está ligada à cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e nos quais estão apoiadas escovas metálicas que fazem contato com um circuito externo. Sendo theta o angulo entre a normal à área da espira e o campo magnético, considere que em t=0, theta=0.
Mostre que a f.e.m induzida no circuito externo é E ind =E0 sen(omega t), onde E0= omega N a b B é a amplitude de oscilação da f.e.m induzida;

Passo 1

Tranquilo! O enunciado diz que a gente tem uma bobina retangular (lado a, lado b), com N espiras, girando com velocidade angular omega em um campo magnético constante vec B. A bobina está conectada externamente via escovas e cenho de metal, e em t=0 o ângulo entre a normal da espira e vec B é theta=0.
Conteúdo: eletromagnetismo (fluxo magnético e lei de Faraday).
O que vamos precisar:
  • Expressar o fluxo magnético Phi da bobina.
  • Relacionar o ângulo theta ao tempo ( theta(t)=omega t).
  • Aplicar a lei de Faraday: Erm ind=-dPhidt.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é fluxo magnético. Se você tem uma espira de área A e um campo vec B, o fluxo é
Phi = integral vec Bcdot dvec A ;=; B,A,costheta,
No nosso caso de N espiras idênticas e área de cada espira A = a,b, a gente tem
Phi(t) = N,B,(a,b),costheta(t)

Passo 3

Como a bobina está girando com velocidade angular constante omega, o ângulo entre a normal da área e o campo varia como
theta(t)=omega,t,
Substituindo isso em Phi, fica
Phi(t) = N,B,a,b;cos(omega t),

Passo 4

Agora aplica a lei de Faraday que fala que a f.e.m. induzida é
Erm ind = -dPhidt,
Vamos derivar Phi(t):
$$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl[N,B,a,b;\cos(\omega t)\bigr]
= N,B,a,b;\bigl[-\sin(\omega t)\bigr];\frac{d}{dt}(\omega t)
= -,N,B,a,b;\omega;\sin(\omega t),. dPhidt = ddtl[N,B,a,b;cos(omega t)r] = N,B,a,b;l[-sin(omega t)r];ddt(omega t) = -,N,B,a,b;omega;sin(omega t), ã\mathcal{E}_{\rm ind} = -\bigl[-N,B,a,b,\omega,\sin(\omega t)\bigr]
= N,B,a,b,\omega;\sin(\omega t),. $$

Passo 5

Perceba que isso é da forma onda-seno, com amplitude
E0 = N,B,a,b,omega,

Resposta

$$\boxed{\mathcal{E}{\rm ind}(t) = \mathcal{E}{0},\sen(\omega t)\quadcom\quad
\mathcal{E}_{0} = \omega,N,a,b,B,.}$$

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