a) Calcule o campo eléctrico em qualquer ponto do eixo dos
. Considere as várias regiões onde o campo é diferente.
b) Calcule o campo eléctrico no ponto
do eixo dos
, à distância
do centro da esfera.
c) Determine o fluxo do campo eléctrico através de uma esfera também centrada na origem e que passa por
.
b) Calcule o campo eléctrico no ponto
c) Determine o fluxo do campo eléctrico através de uma esfera também centrada na origem e que passa por
Passo 1
O exercício é de Eletrostática (Cargas e Lei de Gauss). A gente tem uma esfera de raio
uniformemente carregada com carga total
.
a) Queremos achar em qualquer ponto do eixo
, dividindo em regiões onde
(dentro) e
(fora).
b) A gente calcula no ponto
que fica no eixo
a
do centro.
c) Por fim, usamos a Lei de Gauss para achar o fluxo elétrico através de uma esfera de raio .
Pra resolver:
a) Queremos achar
b) A gente calcula
c) Por fim, usamos a Lei de Gauss para achar o fluxo elétrico através de uma esfera de raio
Pra resolver:
- Vamos usar a Lei de Gauss:
. - Pra dentro de uma esfera uniformemente carregada, a carga interna até um raio
é , com . - Pra fora, a carga total é
.
Passo 2
(Parte a – região fora da esfera,
)
- Imagine uma superfície gaussiana esférica de raio
. - Pela simetria,
é radial e constante em toda a superfície, então$$E,4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quadE®=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{r^2},. $$
3) Se, o vetor campo aponta para fora (positivo em ); se , aponta para dentro (negativo em ).
Passo 3
(Parte a – região dentro da esfera,
)
- Agora a carga interna até
é - Pela Lei de Gauss:
- De novo, a direção é radial: se
segue , se é .
Passo 4
(Parte b – ponto
no eixo
, a
)
- A distância de
ao centro é , então usamos a fórmula de fora da esfera:$$E(2R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{(2R)^2}=\frac{1}{16\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{R^2},. \vec E_P=;E(2R),\hat y=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0,R^2};\hat y,. $$
Passo 5
(Parte c – fluxo pela esfera de raio
)
- A superfície é uma esfera de raio
, totalmente contendo a carga . - Pela Lei de Gauss:$$\Phi_E=\oint \vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0},. $$
Resposta
a) Eixo
com origem no centro da esfera:
- Para
:
- Para:
b) No ponto
(
no eixo
):
c) Fluxo através da esfera de raio