a) Calcule o campo eléctrico em qualquer ponto do eixo dos x x. Considere as várias regiões onde o campo é diferente.
b) Calcule o campo eléctrico no ponto P do eixo dos y y, à distância 2 R do centro da esfera.
c) Determine o fluxo do campo eléctrico através de uma esfera também centrada na origem e que passa por P.

Passo 1

O exercício é de Eletrostática (Cargas e Lei de Gauss). A gente tem uma esfera de raio R uniformemente carregada com carga total Q.
a) Queremos achar vec E em qualquer ponto do eixo x, dividindo em regiões onde x (dentro) e x>R (fora).
b) A gente calcula vec E no ponto P que fica no eixo y a 2R do centro.
c) Por fim, usamos a Lei de Gauss para achar o fluxo elétrico através de uma esfera de raio 2R.
Pra resolver:
  • Vamos usar a Lei de Gauss: PhiE=oint vec Ecdot dvec A=Qrm intvarepsilon0.
  • Pra dentro de uma esfera uniformemente carregada, a carga interna até um raio r é Qrm int=rho,(4/3)pi r^3, com rho=Q/(tfrac43pi R^3).
  • Pra fora, a carga total é Q.

Passo 2

(Parte a – região fora da esfera, |x|>R)
  1. Imagine uma superfície gaussiana esférica de raio r=|x|>R.
  2. Pela simetria, vec E é radial e constante em toda a superfície, então$$E,4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quadE®=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{r^2},. $$
    3) Se E,4pi r^2=Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2, , o vetor campo aponta para fora (positivo em x>R); se hat x, aponta para dentro (negativo em x<-R).

Passo 3

(Parte a – região dentro da esfera, |x|)
  1. Agora a carga interna até r=|x| é Qrm int=rho,(4/3),pi r^3 =Qtfrac43pi R^3,43pi r^3 =Q,r^3R^3,
  2. Pela Lei de Gauss: E,4pi r^2=Qrm intvarepsilon0 =Qvarepsilon0,r^3R^3 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0,QR^3,r,
  3. De novo, a direção é radial: se x>0 segue hat x, se x<0 é -hat x.

Passo 4

(Parte b – ponto P no eixo y, a 2R)
  1. A distância de P ao centro é r=2R>R, então usamos a fórmula de fora da esfera:$$E(2R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{(2R)^2}=\frac{1}{16\pi\varepsilon_0},\frac{Q}{R^2},. E(2R)=14pivarepsilon0,Q(2R)^2 =116pivarepsilon0,QR^2, áé\vec E_P=;E(2R),\hat y=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0,R^2};\hat y,. $$

Passo 5

(Parte c – fluxo pela esfera de raio 2R)
  1. A superfície é uma esfera de raio 2R, totalmente contendo a carga Q.
  2. Pela Lei de Gauss:$$\Phi_E=\oint \vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0},. $$

Resposta

a) Eixo x com origem no centro da esfera:
  • Para |x|>R: vec E(x)=14pivarepsilon0,Qx^2,sgn(x);hat x
    - Para |x|:
    vec E(x)=14pivarepsilon0,QR^3,|x|;sgn(x);hat x
b) No ponto P ( r=2R no eixo y):
vec EP=Q16pivarepsilon0,R^2;hat y
c) Fluxo através da esfera de raio 2R:
PhiE=Qvarepsilon0,

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