Uma bobina retangular, com N espiras, comprimento a e largura b, é girada com uma freqüência f num campo magnético uniforme B. (a) Mostre que uma fem induzida dada por \varepsilon= 2 \pi f N a b B s e n(2 \pi f t)=\varepsilon_{0} \operatorname{sen}(2 \pi f t) aparece na bobina. Este é o princípio de um gerador comercial de corrente alternada. (b) Projete uma bobina que produza uma fem com \varepsilon_{o}=150 \mathrm{~V} quando girada a 60,0 \mathrm{rev} / \mathrm{s} num campo magnético de 0,500 T .
Passo 1
O enunciado dá uma bobina retangular com N espiras, comprimento a e largura b, girada com frequência f num campo magnético uniforme B. As perguntas são:
(a) Mostrar que aparece na bobina uma fem \varepsilon = 2\pi f N a b B \operatorname{sen}(2\pi f t) = \varepsilon_{0}\operatorname{sen}(2\pi f t).
(b) Projetar uma bobina que produza \varepsilon_{0}=150\\ \mathrm{V} quando girada a 60{,}0\\ \mathrm{rev/s} num campo B=0{,}500\\ \mathrm{T}.
Conceito de fluxo magnético e como ele aparece aqui. Para uma espira plana de área A colocada num campo magnético uniforme B, o fluxo magnético através da espira é a soma (produto para campo uniforme) do campo pela área e pelo cosseno do ângulo entre a normal da espira e o campo. Escrevendo isso:
\Phi = B A \cos\theta,
onde A é a área da espira e \theta é o ângulo entre a normal à superfície da espira e o vetor \vec{B}. No nosso caso a espira é retangular, então a área de cada espira é
A = a b.
Como há N espiras idênticas, o fluxo total ligado ao enrolamento é
\Phi(t) = N B A \cos\theta(t).
Passo 3
Como a bobina gira com frequência f, o ângulo varia harmonicamente com o tempo. A velocidade angular é
\omega = 2\pi f,
logo podemos escrever \theta(t)=\omega t = 2\pi f t. Substituindo em \Phi(t) obtemos:
\Phi(t) = N B a b \cos(2\pi f t).
Passo 4
Lei de Faraday (forma integral diferencial para um circuito fechado): a força eletromotriz (fem) induzida é o negativo da taxa de variação do fluxo magnético ligado ao circuito:
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt}.
Explicando: isso significa que sempre que o fluxo ligado ao circuito muda no tempo aparece uma tensão induzida que tende a opor a variação (sinal negativo indica a lei de Lenz). Aqui aplicamos derivada temporal à expressão de \Phi(t).
Passo 5
Calculemos a derivada passo a passo. Temos
\Phi(t)=N B a b \cos(2\pi f t).
Aplicando a derivada:
\frac{d\Phi}{dt} = N B a b \cdot \frac{d}{dt}\big(\cos(2\pi f t)\big).
Usando regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t) = -\omega \operatorname{sen}(\omega t) com \omega=2\pi f. Logo
\frac{d\Phi}{dt} = N B a b \cdot \big(-2\pi f \operatorname{sen}(2\pi f t)\big).
Aplicando a lei de Faraday com o sinal negativo:
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\big(N B a b \cdot (-2\pi f \operatorname{sen}(2\pi f t))\big).
Os sinais negativos se cancelam e obtemos
\varepsilon(t) = N B a b \cdot 2\pi f \operatorname{sen}(2\pi f t).
Passo 6
Identificando a amplitude da fem (valor de pico) e escrevendo de forma compacta:
\varepsilon(t) = \underbrace{2\pi f N a b B}_{\varepsilon_{0}}\;\operatorname{sen}(2\pi f t).
Portanto a fem induzida é
\varepsilon(t)=2\pi f N a b B\\ \operatorname{sen}(2\pi f t)=\varepsilon_{0}\operatorname{sen}(2\pi f t),
que é exatamente a expressão pedida no item (a). Aqui \varepsilon_{0} é a amplitude da fem (valor de pico).
Passo 7
Passando ao item (b): a relação entre \varepsilon_{0} e as grandezas do projeto é
\varepsilon_{0}=2\pi f N a b B.
Isolando o produto Nab (número de espiras vezes área por espira):
N a b = \frac{150}{60\pi} = \frac{2{,}5}{\pi} \approx 0{,}7958\\ \mathrm{m}^{2}.
Interpretação: o produto N\cdot(a b) deve ser aproximadamente 0{,}7958\\ \mathrm{m}^{2}.
Passo 9
Escolhas práticas para o projeto — como transformar esse produto em número de espiras e dimensões do retângulo. O valor N a b significa que, por exemplo, se escolhermos um número de espiras N, a área por espira A=a b deve ser
A=\frac{N a b}{N}.
Algumas opções razoáveis (sugestões, você pode escolher outras conforme restrições físicas):
com a=0{,}20\\ \mathrm{m} dá b=0{,}07958\\ \mathrm{m}.
Expliquei o procedimento: escolha N conforme limitação prática (espaço, resistência, fio), calcule A=Nab/N e escolha dimensões a e b convenientes.
Resposta
(a) \displaystyle \varepsilon(t)=2\pi f N a b B\\ \operatorname{sen}(2\pi f t)=\varepsilon_{0}\operatorname{sen}(2\pi f t).
(b) \displaystyle N a b=\frac{150}{2\pi\cdot60{,}0\cdot0{,}500}\approx0{,}7958\\ \mathrm{m}^{2}. (Ex.: com N=100 espiras, A=a b=7{,}958\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}; escolhendo a=0{,}10\\ \mathrm{m} dá b\approx0{,}07958\\ \mathrm{m}.)