Um campo magnético uniforme é ortogonal ao plano de uma espira circular de diâmetro igual a 10 cm , feita de fio de cobre (diâmetro 2,5 \mathrm{~mm} e \rho=1,69 \times 10^{-8} \Omega . \mathrm{m}). (a) Calcule a resistência do fio. (b) A que taxa deve o campo magnético variar com o tempo para que uma corrente induzida de 10 A seja estabelecida na espira? R.: 1,1 \mathrm{~m} \Omega e 1,4 \mathrm{~T} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá uma espira circular feita de fio de cobre e pede duas coisas: (a) a resistência do fio que compõe a espira; (b) a taxa de variação do campo magnético necessária para induzir uma corrente de 10\\ \mathrm{A} na espira. Dados fornecidos (vou reescrevê-los de forma clara):
\begin{aligned} &\text{diâmetro da espira:}\quad d_{\text{espira}} = 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro do fio:}\quad d_{\text{fio}} = 2,5\\ \mathrm{mm} = 2,5\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{resistividade do cobre:}\quad \rho = 1,69\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},\\\ &\text{corrente induzida desejada:}\quad I = 10\\ \mathrm{A}. \end{aligned}ââ
A partir disso vamos calcular: (a) o comprimento do fio que forma a espira e a área da seção transversal do fio para obter a resistência; (b) usar a Lei de Faraday e a Lei de Ohm para achar \mathrm{d}B/\mathrm{d}t.

Passo 2

Primeiro encontramos o comprimento do fio L. O fio forma uma espira circular de diâmetro d_{\text{espira}}, então o comprimento é a circunferência:
L = \pi d_{\text{espira}}.
Substituindo:
L = \pi\cdot 0,10 = 0,314159\ldots\\ \mathrm{m}\approx 0,31416\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: a fórmula da circunferência \,L=\pi d vem da geometria básica do círculo.

Passo 3

Agora calculamos a área da seção transversal do fio, A_{\text{fio}}. O fio tem diâmetro d_{\text{fio}}, então o raio do fio é
r_{\text{fio}}=\frac{d_{\text{fio}}}{2}=\frac{2,5\times 10^{-3}}{2}=1,25\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A área é a área do círculo:
A_{\text{fio}}=\pi r_{\text{fio}}^{2}=\pi\left(1,25\times 10^{-3}\right)^{2}.
Calculando:
A_{\text{fio}}=\pi\cdot 1,5625\times 10^{-6}=4,9087\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}\quad(\text{aprox.}).
Breve aula: a área da seção é necessária porque a resistência de um fio homogêneo depende da resistividade, do comprimento e da área transversal segundo a fórmula a seguir.

Passo 4

Usamos a fórmula da resistência de um condutor:
R=\rho\frac{L}{A_{\text{fio}}},
onde \rho é a resistividade (unidade \Omega\cdot\mathrm{m}), L o comprimento e A_{\text{fio}} a área da seção transversal. Substituindo os valores:
R=(1,69\times 10^{-8})\frac{0,314159}{4,9087\times 10^{-6}}.
Fazendo as contas:
R\approx \frac{5,3091\times 10^{-9}}{4,9087\times 10^{-6}}=1,0817\times 10^{-3}\\ \Omega.
Arredondando para duas casas significativas em mili-ohm:
R\approx 1,1\\ \mathrm{m}\Omega.
Comentário amistoso: ficou bem pequeno porque o fio é curto e o cobre tem baixa resistividade — por isso a resistência dá ordem de 10^{-3}\\ \Omega.

Passo 5

Para a parte (b) introduzimos a Lei de Faraday da indução eletromagnética. A força eletromotriz induzida na espira é
\varepsilon = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},
onde \Phi é o fluxo magnético através da espira. Se o campo magnético \mathbf{B} é uniforme e ortogonal ao plano da espira, o fluxo é
\Phi = B\cdot A_{\text{espira}},
onde A_{\text{espira}} é a área da espira. Assim, em módulo (só nos interessa o valor para obter corrente):
|\varepsilon| = A_{\text{espira}}\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|.
Explicação: o sinal negativo da Lei de Faraday expressa a regra de Lenz (a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo), mas para achar a magnitude da variação de B usamos os valores absolutos.

Passo 6

A corrente induzida relaciona-se com a fem pela Lei de Ohm aplicada ao circuito da espira:
I=\frac{|\varepsilon|}{R}.
Combinando com a expressão do passo anterior:
I=\frac{A_{\text{espira}}\,|\mathrm{d}B/\mathrm{d}t|}{R}.
Isolando a taxa de variação do campo magnético:
\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|=\frac{I R}{A_{\text{espira}}}.

Passo 7

Calculemos a área da espira A_{\text{espira}}. A espira tem raio r_{\text{espira}}=\dfrac{d_{\text{espira}}}{2}=0,05\\ \mathrm{m}. Logo
A_{\text{espira}}=\pi r_{\text{espira}}^{2}=\pi\cdot(0,05)^{2}=\pi\cdot 0,0025=7,85398\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora substituímos na fórmula de \mathrm{d}B/\mathrm{d}t:
\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|=\frac{I R}{A_{\text{espira}}}=\frac{10\cdot 1,0817\times 10^{-3}}{7,85398\times 10^{-3}}.
Calculando:
\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|\approx \frac{0,010817}{0,00785398}=1,377\\ \mathrm{T}/\mathrm{s}.
Arredondando para uma casa significativa compatível com os dados:
\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|\approx 1,4\\ \mathrm{T}/\mathrm{s}.

Passo 8

Resumo final e incentivo: calculamos passo a passo a resistência do fio a partir da resistividade e do comprimento da circunferência, depois aplicamos Faraday (fluxo magnético =B\cdot A) e Ohm para obter a taxa \mathrm{d}B/\mathrm{d}t. Você tá indo bem — falta pouco pra prova!

Resposta

(a) 1,1\\ \mathrm{m}\Omega
(b) 1,4\\ \mathrm{T}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados