Um campo magnético uniforme é ortogonal ao plano de uma espira circular de diâmetro igual a 10 cm , feita de fio de cobre (diâmetro 2,5 \mathrm{~mm} e \rho=1,69 \times 10^{-8} \Omega . \mathrm{m}). (a) Calcule a resistência do fio. (b) A que taxa deve o campo magnético variar com o tempo para que uma corrente induzida de 10 A seja estabelecida na espira? R.: 1,1 \mathrm{~m} \Omega e 1,4 \mathrm{~T} / \mathrm{s}.
Passo 1
O enunciado dá uma espira circular feita de fio de cobre e pede duas coisas: (a) a resistência do fio que compõe a espira; (b) a taxa de variação do campo magnético necessária para induzir uma corrente de 10\\ \mathrm{A} na espira. Dados fornecidos (vou reescrevê-los de forma clara):
\begin{aligned} &\text{diâmetro da espira:}\quad d_{\text{espira}} = 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro do fio:}\quad d_{\text{fio}} = 2,5\\ \mathrm{mm} = 2,5\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{resistividade do cobre:}\quad \rho = 1,69\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},\\\ &\text{corrente induzida desejada:}\quad I = 10\\ \mathrm{A}. \end{aligned}
A partir disso vamos calcular: (a) o comprimento do fio que forma a espira e a área da seção transversal do fio para obter a resistência; (b) usar a Lei de Faraday e a Lei de Ohm para achar \mathrm{d}B/\mathrm{d}t.
Passo 2
Primeiro encontramos o comprimento do fio L. O fio forma uma espira circular de diâmetro d_{\text{espira}}, então o comprimento é a circunferência:
L = \pi d_{\text{espira}}.
Substituindo:
L = \pi\cdot 0,10 = 0,314159\ldots\\ \mathrm{m}\approx 0,31416\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: a fórmula da circunferência \,L=\pi d vem da geometria básica do círculo.
Passo 3
Agora calculamos a área da seção transversal do fio, A_{\text{fio}}. O fio tem diâmetro d_{\text{fio}}, então o raio do fio é
Breve aula: a área da seção é necessária porque a resistência de um fio homogêneo depende da resistividade, do comprimento e da área transversal segundo a fórmula a seguir.
Passo 4
Usamos a fórmula da resistência de um condutor:
R=\rho\frac{L}{A_{\text{fio}}},
onde \rho é a resistividade (unidade \Omega\cdot\mathrm{m}), L o comprimento e A_{\text{fio}} a área da seção transversal. Substituindo os valores:
Explicação: o sinal negativo da Lei de Faraday expressa a regra de Lenz (a corrente induzida tende a se opor à variação do fluxo), mas para achar a magnitude da variação de B usamos os valores absolutos.
Passo 6
A corrente induzida relaciona-se com a fem pela Lei de Ohm aplicada ao circuito da espira:
Resumo final e incentivo: calculamos passo a passo a resistência do fio a partir da resistividade e do comprimento da circunferência, depois aplicamos Faraday (fluxo magnético =B\cdot A) e Ohm para obter a taxa \mathrm{d}B/\mathrm{d}t. Você tá indo bem — falta pouco pra prova!