Uma corrente i=i_{o} \operatorname{sen}(\omega t) percorre um solenóide extenso que possui n espiras por unidade de comprimento. Uma espira circular de área A está no interior do solenóide e seu eixo coincide com o eixo do solenóide. Determine a fem induzida na espira. R.: f e m=-\omega A \mu_{0} i_{0} n \cos (\omega t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Corrente no solenóide: i = i_{0}\sin(\omega t).
  • O solenóide é extenso e tem n espiras por unidade de comprimento.
  • Há uma espira circular de área A dentro do solenóide, com o eixo da espira coincidente com o eixo do solenóide.
  • Pedem: determinar a fem induzida na espira (ou seja, a força eletromotriz induzida \mathcal{E} como função do tempo).
Essas são todas as informações relevantes que usaremos.

Passo 2

Vamos encontrar o campo magnético no interior do solenóide produzido por i(t). Para um solenóide longo e ideal (campo uniforme no interior e desprezível fora) podemos usar a Lei de Ampère na forma integral:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
Escolhemos um caminho amperiano retangular cuja parte interior tem comprimento l alinhada com o eixo do solenóide. O número de espiras contidas nesse comprimento é n l, e cada espira carrega corrente i, logo a corrente total “enclausurada” é
I_{\text{enc}}=(n l)\,i.
Como \vec{B} é aproximadamente uniforme e paralelo ao segmento de comprimento l dentro do solenóide, a integral dá B\,l. Assim
B\,l=\mu_{0}(n l)\,i \quad\Rightarrow\quad B=\mu_{0} n i.
Explicação didática: n é espiras por metro, então em um trecho de comprimento l n l espiras; Ampère diz que o laço magnético é proporcional à corrente total atravessada, daí surge \mu_{0} n i.

Passo 3

Agora substituímos a corrente dependente do tempo. Como i=i_{0}\sin(\omega t), o campo magnético dentro do solenóide também depende do tempo:
B(t)=\mu_{0} n\, i(t)=\mu_{0} n\, i_{0}\sin(\omega t).
Observação: B está dirigido ao longo do eixo do solenóide; como a espira tem o mesmo eixo, o campo atravessa a espira de forma praticamente perpendicular à sua superfície.

Passo 4

Definimos fluxo magnético \Phi pela superfície da espira. A definição é
\Phi=\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A}.
Como \vec{B} é praticamente uniforme sobre a área A da espira e está paralelo ao vetor normal da área (eixo coincide), o produto escalar é simplesmente B vezes A. Portanto
\Phi(t)=B(t)\,A=\mu_{0} n\, i_{0} A \sin(\omega t).
Explicação didática: fluxo é a “quantidade de campo” que atravessa a superfície; com campo uniforme e superfície plana perpendicular ao campo, é só multiplicar.

Passo 5

Aplicamos a Lei de Faraday para encontrar a fem induzida. A forma diferencial da Lei de Faraday (para uma espira) é
\mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi}{dt}.
O sinal negativo é a assinatura da regra de Lenz: a fem induzida age para se opor à variação do fluxo que a produz. Substituímos \Phi(t):
\mathcal{E} = -\dfrac{d}{dt}\bigl(\mu_{0} n\, i_{0} A \sin(\omega t)\bigr).

Passo 6

Calculamos a derivada temporal passo a passo. A constante \mu_{0} n\, i_{0} A sai da derivada:
\mathcal{E} = -\mu_{0} n\, i_{0} A \cdot \dfrac{d}{dt}\bigl(\sin(\omega t)\bigr).
Usamos a regra básica de derivação: \dfrac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t). Portanto
\mathcal{E} = -\mu_{0} n\, i_{0} A \cdot \omega \cos(\omega t).
Reorganizando os fatores para ficar no formato pedido:
\mathcal{E} = -\omega A \mu_{0} i_{0} n \cos(\omega t).
Interpretação rápida: a fem é uma função cosenoidal, defasada de 90^\circ em relação à corrente, com amplitude \omega A \mu_{0} i_{0} n. O sinal negativo indica oposição à variação do fluxo (regra de Lenz).

Resposta

-\omega A \mu_{0} i_{0} n \cos(\omega t)

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