Uma corrente
percorre um solenóide extenso que possui
espiras por unidade de comprimento. Uma espira circular de área
está no interior do solenóide e seu eixo coincide com o eixo do solenóide. Determine a fem induzida na espira. R.:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Corrente no solenóide:
. - O solenóide é extenso e tem
espiras por unidade de comprimento. - Há uma espira circular de área
dentro do solenóide, com o eixo da espira coincidente com o eixo do solenóide. - Pedem: determinar a fem induzida na espira (ou seja, a força eletromotriz induzida
como função do tempo).
Essas são todas as informações relevantes que usaremos.
Passo 2
Vamos encontrar o campo magnético no interior do solenóide produzido por
. Para um solenóide longo e ideal (campo uniforme no interior e desprezível fora) podemos usar a Lei de Ampère na forma integral:
Escolhemos um caminho amperiano retangular cuja parte interior tem comprimento
alinhada com o eixo do solenóide. O número de espiras contidas nesse comprimento é
, e cada espira carrega corrente
, logo a corrente total “enclausurada” é
Como
é aproximadamente uniforme e paralelo ao segmento de comprimento
dentro do solenóide, a integral dá
. Assim
Explicação didática:
é espiras por metro, então em um trecho de comprimento
há
espiras; Ampère diz que o laço magnético é proporcional à corrente total atravessada, daí surge
.
Passo 3
Agora substituímos a corrente dependente do tempo. Como
, o campo magnético dentro do solenóide também depende do tempo:
Observação:
está dirigido ao longo do eixo do solenóide; como a espira tem o mesmo eixo, o campo atravessa a espira de forma praticamente perpendicular à sua superfície.
Passo 4
Definimos fluxo magnético
pela superfície da espira. A definição é
Como
é praticamente uniforme sobre a área
da espira e está paralelo ao vetor normal da área (eixo coincide), o produto escalar é simplesmente
vezes
. Portanto
Explicação didática: fluxo é a “quantidade de campo” que atravessa a superfície; com campo uniforme e superfície plana perpendicular ao campo, é só multiplicar.
Passo 5
Aplicamos a Lei de Faraday para encontrar a fem induzida. A forma diferencial da Lei de Faraday (para uma espira) é
O sinal negativo é a assinatura da regra de Lenz: a fem induzida age para se opor à variação do fluxo que a produz. Substituímos
:
Passo 6
Calculamos a derivada temporal passo a passo. A constante
sai da derivada:
Usamos a regra básica de derivação:
. Portanto
Reorganizando os fatores para ficar no formato pedido:
Interpretação rápida: a fem é uma função cosenoidal, defasada de
em relação à corrente, com amplitude
. O sinal negativo indica oposição à variação do fluxo (regra de Lenz).