O dióxido de carbono entra na turbina a 300^{\circ} \mathrm{C} e a 760 kPa e sai a 200^{\circ} \mathrm{C} e a 97 kPa , com uma vazão mássica de 648 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. O processo ocorre em regime permanente com uma perda de taxa de calor de 0,84 \mathrm{~kW}. Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser desprezados e o dióxido de carbono é um gás ideal.
Determine:
a) a vazão volumétrica na entrada, em L/s;
b) a vazão volumétrica na saída, em L/s;
c) a potência da turbina, em kW;
d) a porcentagem de taxa de perda de calor em relação à potência;
e) a potência por unidade de vazão mássica, em \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura de entrada: \;T_1 = 300^\circ\mathrm{C} = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de entrada: \;p_1 = 760\\ \mathrm{kPa} = 760\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura de saída: \;T_2 = 200^\circ\mathrm{C} = 473{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de saída: \;p_2 = 97\\ \mathrm{kPa} = 97\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Vazão mássica: \;\dot m = 648\\ \mathrm{kg/h}.
  • Perda de calor (taxa de calor que sai do sistema): \;\dot Q_{loss} = 0{,}84\\ \mathrm{kW} (isto é calor perdido do controle).
  • Assunções: regime permanente, efeitos de energia cinética e potencial desprezíveis, dióxido de carbono tratado como gás ideal.
Perguntas:
a) Vazão volumétrica na entrada, em \mathrm{L/s}.
b) Vazão volumétrica na saída, em \mathrm{L/s}.
c) Potência da turbina, em \mathrm{kW}.
d) Porcentagem da taxa de perda de calor em relação à potência.
e) Potência por unidade de vazão mássica, em \mathrm{kJ/kg}.

Passo 2

Conversões e valores úteis iniciais.
  • Converter vazão mássica para \mathrm{kg/s}:
\dot m = \frac{648\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}} = 0{,}18\\ \mathrm{kg/s}.
  • Constante universal dos gases: \;R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}. Massa molar do \mathrm{CO_2}: \;M = 44{,}01\\ \mathrm{kg/kmol}. Então a constante específica do gás é
R = \frac{R_u}{M} = \frac{8{,}314462618\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}}{44{,}01\\ \mathrm{kg/kmol}} = 0{,}188944\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 188{,}944\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Usei R em \mathrm{J/(kg\cdot K)} para compatibilidade com Pa e m³.)

Passo 3

Fórmula do gás ideal para obter o volume específico e a vazão volumétrica.
  • Para um gás ideal a relação entre pressão, volume específico e temperatura é
p\,v = R\,T,
onde p é a pressão (Pa), v é o volume específico (m³/kg), R é a constante específica (J/(kg·K)) e T é a temperatura (K).
  • A vazão volumétrica é
\dot V = \dot m \, v.
Vamos aplicar isso na entrada e na saída.

Passo 4

Cálculo do volume específico e vazão volumétrica na entrada.
  • Volume específico na entrada:
v_1 = \frac{R\,T_1}{p_1} = \frac{188{,}944\cdot 573{,}15}{760\,000}\\ \mathrm{m^3/kg}.
Calculemos passo a passo:
188{,}944\cdot 573{,}15 = 108\,293{,}254\\ (\text{aprox.})
v_1 = \frac{108\,293{,}254}{760\,000} = 0{,}14247\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Vazão volumétrica na entrada:
\dot V_1 = \dot m\,v_1 = 0{,}18\cdot 0{,}14247 = 0{,}0256446\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para \mathrm{L/s} (1 m³ = 1000 L):
\dot V_1 = 25{,}645\\ \mathrm{L/s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Cálculo do volume específico e vazão volumétrica na saída.
  • Volume específico na saída:
v_2 = \frac{R\,T_2}{p_2} = \frac{188{,}944\cdot 473{,}15}{97\,000}\\ \mathrm{m^3/kg}.
Calculemos:
188{,}944\cdot 473{,}15 = 89\,398{,}854\\ (\text{aprox.})
v_2 = \frac{89\,398{,}854}{97\,000} = 0{,}92102\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Vazão volumétrica na saída:
\dot V_2 = \dot m\,v_2 = 0{,}18\cdot 0{,}92102 = 0{,}1657836\\ \mathrm{m^3/s} = 165{,}784\\ \mathrm{L/s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Energia específica (entalpia) e balanço de energia para a turbina.
  • Para um gás ideal (assumindo calor específico a pressão aproximadamente constante), a variação de entalpia específica é
\Delta h = h_1 - h_2 = c_p\,(T_1 - T_2),
onde c_p é o calor específico a pressão constante (kJ/(kg·K)), T em K e h em kJ/kg.
  • Para o dióxido de carbono e para este nível de exercício assumimos c_p constante. Tomaremos um valor típico:
c_p = 0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(É um valor tabelado aproximado para CO2 na região de temperaturas consideradas; a suposição de c_p constante é comum em exercícios.)
  • Diferença de temperatura:
T_1 - T_2 = 573{,}15 - 473{,}15 = 100{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Logo variação de entalpia por massa:
\Delta h = 0{,}844\cdot 100{,}0 = 84{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Aplicar o balanço de energia em regime permanente para obter a potência da turbina.
  • Balanço de energia (sabendo que efeitos cinéticos e potenciais são desprezíveis) para um volume de controle com fluxo estacionário:
\dot Q - \dot W_{shaft} + \dot m h_1 = \dot m h_2.
Rearranjando para a potência de saída da turbina \dot W_{shaft} (potência entregue pelo fluido ao eixo, positiva quando gerada):
\dot W_{shaft} = \dot Q + \dot m\,(h_1 - h_2).
  • Aqui \dot Q é a taxa de calor adicionada ao controle. Como há uma perda de calor para o meio de \dot Q_{loss} = 0{,}84\\ \mathrm{kW}, temos \dot Q = -0{,}84\\ \mathrm{kW}.
  • Então:
\dot W_{shaft} = -0{,}84 + \dot m\cdot \Delta h.
Calculemos \dot m\cdot \Delta h:
\dot m\cdot \Delta h = 0{,}18\\ \mathrm{kg/s}\cdot 84{,}4\\ \mathrm{kJ/kg} = 15{,}192\\ \mathrm{kW}.
Portanto
\dot W_{shaft} = 15{,}192 - 0{,}84 = 14{,}352\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Porcentagem da taxa de perda de calor em relação à potência e potência por unidade de vazão mássica.
  • Porcentagem:
\text{percentual} = \frac{\dot Q_{loss}}{\dot W_{shaft}}\times 100\% = \frac{0{,}84}{14{,}352}\times 100\% = 5{,}856\%\\ (\text{aprox. }5{,}86\%).
  • Potência por unidade de vazão mássica (energia por massa, em \mathrm{kJ/kg}):
\frac{\dot W_{shaft}}{\dot m} = \frac{14{,}352\\ \mathrm{kW}}{0{,}18\\ \mathrm{kg/s}} = 79{,}733\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Observação: 1\\ \mathrm{kW}/(\mathrm{kg/s}) = 1\\ \mathrm{kJ/kg}.)

Resposta

a) \dot V_1 = 25{,}645\\ \mathrm{L/s}
b) \dot V_2 = 165{,}784\\ \mathrm{L/s}
c) \dot W_{turbina} = 14{,}352\\ \mathrm{kW}
d) \displaystyle 5{,}856\%
e) \displaystyle \frac{\dot W_{turbina}}{\dot m} = 79{,}733\\ \mathrm{kJ/kg}

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