Um bocal convergente-divergente possui uma temperatura de estagnação (
) de 400 K e uma pressão de estagnação
de 980 kPa. O número de Mach na garganta vale 0,84. A área do bocal CD no plano de saída
vale
e a pressão traseira
vale 800 kPa. Ocorre um escoamento isentrópico de ar, em que
e
.
d) a temperatura na saída do bocal CD, em K;
d) a temperatura na saída do bocal CD, em K;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo um bocal convergente-divergente onde o ar está escoando de forma isentrópica. As informações que temos são a temperatura e pressão de estagnação, o número de Mach na garganta, a área de saída do bocal e a pressão traseira. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a temperatura na saída do bocal CD. Para isso, vamos precisar usar as relações de escoamento isentrópico e entender como o número de Mach influencia na temperatura do fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um escoamento isentrópico, a temperatura de estagnação ($ T_0
T
M $) pela seguinte equação:
Onde:
- $ k $ é a razão dos calores específicos (1,4 para o ar).
- $ M $ é o número de Mach no ponto considerado.
Passo 3
Nos foi dado $ T_0 = 400 , K $ e na garganta o número de Mach é $ M = 0,84
T $).
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos calcular o termo dentro dos parênteses:
Então:
Essa é a temperatura na garganta. Mas nosso objetivo é encontrar a temperatura na saída do bocal CD.
Passo 5
Para encontrar a temperatura na saída $ T_e $, precisamos saber o número de Mach nessa região. Como o escoamento é isentrópico e sabemos a área de saída, podemos usar a relação de áreas para bocais convergentes-divergentes.
A relação de área para um bocal isentrópico é dada por:
Onde $ A^* $ é a área da garganta e $ A_e $ é a área de saída.
Passo 6
Sabemos que na garganta, $ A^* $ corresponde à área onde $ M = 1 $ (condição crítica). No entanto, no nosso caso, o Mach na garganta é 0,84, o que indica que o fluxo não é crítico e ainda não está na condição de choking.
Mas para simplificar, vamos assumir que o número de Mach na saída seja maior que 1, já que estamos em um bocal divergente e o fluxo tende a acelerar até se tornar supersônico.
Passo 7
Com $ M_e > 1 $, podemos usar a equação de temperatura de estagnação para encontrar $ T_e $:
Precisamos isolar $ T_e $:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar $ M_e $. Para isso, podemos usar a relação de pressão isentrópica:
Sabemos que $ p_0 = 980 , kPa $ e $ p_b = p_e = 800 , kPa $.
Substituindo:
Passo 9
Para resolver essa equação, tiramos a raiz $ 3,5 $-ésima de ambos os lados:
Então:
Passo 10
Agora que temos $ M_e \approx 0,547 $, podemos encontrar $ T_e $:
Resposta
A temperatura na saída do bocal CD é aproximadamente 377,5 K.