Um bocal convergente-divergente possui uma temperatura de estagnação ( T0 ) de 400 K e uma pressão de estagnação (p0) de 980 kPa. O número de Mach na garganta vale 0,84. A área do bocal CD no plano de saída (Ae) vale 0,0016 m^2 e a pressão traseira (pb) vale 800 kPa. Ocorre um escoamento isentrópico de ar, em que k=1,4 e R=287 J /(kg cdot K).
i) a área crítica, em m^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício sobre fluxo de ar em um bocal convergente-divergente, que é tipo um tubo que acelera o ar até altas velocidades. A gente precisa encontrar a área crítica desse bocal em metros quadrados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de escoamento isentrópico, número de Mach, e as relações entre pressão, temperatura e área no fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a área crítica. Na garganta do bocal (a parte mais estreita), a área crítica é a área onde o número de Mach é igual a 1, ou seja, o fluxo é exatamente supersônico ali. Para encontrar essa área, precisamos usar a relação entre a área, o número de Mach e as propriedades do fluxo.

Passo 3

Vamos usar a equação da relação área-Mach para fluxo isentrópico, que é dada por:
AA^* = 1M [ 2k+1 (1 + k-12 M^2 ) ]^k+12(k-1)
Aqui, $ A $ é a área, $ A^* $ é a área crítica que queremos encontrar, $ M $ é o número de Mach, e $ k $ é a relação de calores específicos.

Passo 4

Sabemos que na garganta, para encontrar a área crítica $ A^* $, o número de Mach $ M $ é 1. Então, substituindo $ M = 1 $ na equação, temos:
A^*

Passo 5

Vamos simplificar os cálculos passo a passo. Primeiro, calculamos os termos dentro dos colchetes:
22.4 = 56
1 + 0.42 = 1.2
Então, a expressão fica:
AA^* = 1 times ( 56 times 1.2 )^2.40.8

Passo 6

Calculando o produto dentro dos parênteses:
56 times 1.2 = 1
E o expoente:
2.40.8 = 3
Então, temos:
AA^* = 1^3 = 1

Passo 7

Isso significa que:
A = A^*
Portanto, a área no ponto onde $ M = 1 $ (a área crítica) é igual à área na garganta, que é a área crítica que queremos encontrar.

Passo 8

Agora, precisamos relacionar essa área crítica com as informações fornecidas no problema. Sabemos que a área na saída do bocal ($ A_e $) é 0,0016 m², mas para encontrar $ A^* $, precisamos usar a relação entre as áreas e os números de Mach correspondentes.
Entretanto, como já determinamos que $ A = A^* $ na garganta e considerando que o problema nos dá o número de Mach na garganta como 0,84, podemos concluir que há uma inconsistência, já que na área crítica $ M = 1 $. Isso sugere que precisamos revisar os dados ou a interpretação do problema.

Passo 9

Possivelmente, o número de Mach na garganta não está exatamente em 1, e precisamos usar a relação inversa para encontrar $ A^* $. Podemos rearranjar a equação da relação área-Mach para resolver $ A^* $:
A^*
Substituindo $ M = 0.84 $, $ k = 1.4 $, e $ A = 0.0016 $ m²:
A^*

Passo 10

Calculando passo a passo:
  1. 22.4 = 0.8333
  2. 0.84^2 = 0.7056
  3. 0.42 times 0.7056 = 0.1411
  4. 1 + 0.1411 = 1.1411
  5. 0.8333 times 1.1411 = 0.9526
  6. 0.9526^3 = 0.8631
  7. 10.84 = 1.1905
  8. 0.0016 times 1.1905 = 0.0019048
  9. 0.0019048 times 0.8631 = 0.001643

Resposta

A área crítica do bocal é aproximadamente $ 0,001643 , \mathrm{m}^{2} $.

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