Um bocal convergente-divergente possui uma temperatura de estagnação (
) de 400 K e uma pressão de estagnação
de 980 kPa. O número de Mach na garganta vale 0,84. A área do bocal CD no plano de saída
vale
e a pressão traseira
vale 800 kPa. Ocorre um escoamento isentrópico de ar, em que
e
.
i) a área crítica, em
;
i) a área crítica, em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício sobre fluxo de ar em um bocal convergente-divergente, que é tipo um tubo que acelera o ar até altas velocidades. A gente precisa encontrar a área crítica desse bocal em metros quadrados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de escoamento isentrópico, número de Mach, e as relações entre pressão, temperatura e área no fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a área crítica. Na garganta do bocal (a parte mais estreita), a área crítica é a área onde o número de Mach é igual a 1, ou seja, o fluxo é exatamente supersônico ali. Para encontrar essa área, precisamos usar a relação entre a área, o número de Mach e as propriedades do fluxo.
Passo 3
Vamos usar a equação da relação área-Mach para fluxo isentrópico, que é dada por:
Aqui, $ A $ é a área, $ A^* $ é a área crítica que queremos encontrar, $ M $ é o número de Mach, e $ k $ é a relação de calores específicos.
Passo 4
Sabemos que na garganta, para encontrar a área crítica $ A^* $, o número de Mach $ M $ é 1. Então, substituindo $ M = 1 $ na equação, temos:
Passo 5
Vamos simplificar os cálculos passo a passo. Primeiro, calculamos os termos dentro dos colchetes:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Calculando o produto dentro dos parênteses:
E o expoente:
Então, temos:
Passo 7
Isso significa que:
Portanto, a área no ponto onde $ M = 1 $ (a área crítica) é igual à área na garganta, que é a área crítica que queremos encontrar.
Passo 8
Agora, precisamos relacionar essa área crítica com as informações fornecidas no problema. Sabemos que a área na saída do bocal ($ A_e $) é 0,0016 m², mas para encontrar $ A^* $, precisamos usar a relação entre as áreas e os números de Mach correspondentes.
Entretanto, como já determinamos que $ A = A^* $ na garganta e considerando que o problema nos dá o número de Mach na garganta como 0,84, podemos concluir que há uma inconsistência, já que na área crítica $ M = 1 $. Isso sugere que precisamos revisar os dados ou a interpretação do problema.
Passo 9
Possivelmente, o número de Mach na garganta não está exatamente em 1, e precisamos usar a relação inversa para encontrar $ A^* $. Podemos rearranjar a equação da relação área-Mach para resolver $ A^* $:
Substituindo $ M = 0.84 $, $ k = 1.4 $, e $ A = 0.0016 $ m²:
Passo 10
Calculando passo a passo:
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m²
Resposta
A área crítica do bocal é aproximadamente $ 0,001643 , \mathrm{m}^{2} $.