Uma bola de aço ( cp=0,46 kJ / kg ^circ C, k=35 W / m ^circ C; diâmetro =5 cm; densidade de 7800 kg / m^3 ) está inicialmente a uma temperatura uniforme de 450 ^circ C e é subitamente colocada em um ambiente controlado onde a T é mantida em 100 ^circ C com h=10 W / m^2 ^circ C. Calcule o tempo necessário para quer a bola atinja a temperatura de 150^circ C. R: 9 6 , 9 min

Passo 1

Beleza, aqui vai o resumo do problema:
• Enunciado simplificado: temos uma esfera de aço (diâmetro 5 cm, densidade 7800 kg/m³, cp=0,46,kJ/kg·°C, k=35,W/m·°C) inicialmente a 450 °C, colocada de repente num ambiente a 100 °C com convecção ( h=10,W/m²·°C). Queremos saber quanto tempo leva até a esfera chegar a 150 °C.
• Conteúdo da matéria: transferência de calor por convecção com modelo de capacidade térmica lumped (esfera com Biot pequeno).
• O que vamos precisar:
  1. Checar o número de Biot para ver se usamos modelo lumped.
  2. Calcular massa m e área de superfície A.
  3. Usar a equação do modelo lumped para achar t.

Passo 2

Determinar se vale o modelo lumped (ou seja, temperatura uniforme na esfera durante o resfriamento). A condição é Bi<0,1, onde
Bi = h,Lck, Lc = VolumeÁreaÁ
Para a esfera de raio R=0,025,m:
Lc = 43pi R^34pi R^2 = R3 = 0,0253approx 0,0083 m,
Bi = 10cdot0,008335approx0,0024 < 0,1
Como Bi é pequeno, assumimos temperatura uniforme (modelo lumped vale).

Passo 3

Calcular massa m e área de superfície A:
Volume da esfera
V = 43pi R^3 = 43pi (0,025)^3 approx 6,545times10^-5,m^3
Massa
m = rho,V = 7800cdot6,545times10^-5approx0,5105,kg
Área de superfície
A = 4pi R^2 = 4pi(0,025)^2approx0,00785,m^2

Passo 4

Equação do modelo lumped para a temperatura da esfera ao longo do tempo:
T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty),exp!l(-t/taur),
onde
tau = m,cph,A
é a constante de tempo térmica. Aqui Ti=450,°C é a temperatura inicial, Tinfty=100,°C é a temperatura do fluido, e cp=0,46,kJ/kg·°C = 460,J/kg·°C.

Passo 5

Isolar t para T(t)=150,°C:
150 = 100 + (450-100),e^-t/tau
150-100450-100 = e^-t/tau
ln!l(tfrac50350r) = -ttau
t = -tau ,ln!l(tfrac50350r)
Calcular tau:
tau = m,cph,A = 0,5105cdot46010cdot0,00785approx2990 sapprox49,8 min
Logo
t = 2990cdotl[-ln(0,142857)r]approx2990cdot1,9459approx5817 sapprox96,95 min

Resposta

O tempo necessário para a bola atingir 150 °C é aproximadamente 96,9 min.

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