Um cilindro de concreto (
, raio de
e comprimento de 0,1 m ), está inicialmente a 292 K . O cilindro é subitamente submetido à passagem de vapor de água a 375 K , sendo que a água condensa sobre sua superfície formando um filme efetivo cujo
. K e a difusividade térmica
. Calcule o tempo necessário para que o centro do cilindro atinja 345 K . R: 9,44 min
Passo 1
Beleza, o que rolou aqui? Temos um cilindro de concreto (k=1,21 W/m·K, raio r=0,03624 m, comprimento L=0,1 m), que está a 292 K. De repente jogam vapor a 375 K na superfície, condensando com coeficiente de convecção h=8500 W/m²·K. A difusividade é α=5,97×10⁻⁷ m²/s. A ideia é achar quanto tempo leva para o centro do cilindro chegar a 345 K.
Conteúdo da matéria: condução transiente em cilindro, números adimensionais Biot e Fourier, e a solução em série (primeiro termo) para a temperatura no centro.
Conteúdo da matéria: condução transiente em cilindro, números adimensionais Biot e Fourier, e a solução em série (primeiro termo) para a temperatura no centro.
Passo 2
Primeiro a gente calcula o número de Biot, que diz se dá pra usar “lumped” ou não:
Como Bi≫0,1, não dá pra usar o método de capacitado lumped – a resistência interna ao calor não é desprezível.
Passo 3
Então partimos pra solução transiente unidimensional radial (cilindro “infinito” – ignorando ligeiramente as extremidades). No centro (r=0), a temperatura adimensional é:
$$\theta(t)=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}
= \frac{2}{\zeta_1 J_1(\zeta_1)};e{-\zeta_12,\Fo}, \zeta,J_1(\zeta)=Bi,J_0(\zeta),;$$
–
e
são funções de Bessel de 0ª e 1ª ordem.
Passo 4
Queremos
K, então a razão adimensional no centro vira
Passo 5
Para Bi grandão (≈254), a primeira raiz fica muito próxima de onde
, isto é
.
Aí a constante que acompanha o expoente é
Aí a constante que acompanha o expoente é
e sabemos que
Passo 6
Reescrevendo a equação no tempo:
Passo 7
Isolando :
Então o tempo é
Resposta
O tempo necessário é cerca de 565,8 s, ou seja, aproximadamente 9,44 min.