Um cilindro de concreto ( k=1,21 W / m K, raio de 0,03624 m e comprimento de 0,1 m ), está inicialmente a 292 K . O cilindro é subitamente submetido à passagem de vapor de água a 375 K , sendo que a água condensa sobre sua superfície formando um filme efetivo cujo h=8500 W / m^2. K e a difusividade térmica =5,97 times 10^-7 m^2 / s. Calcule o tempo necessário para que o centro do cilindro atinja 345 K . R: 9,44 min

Passo 1

Beleza, o que rolou aqui? Temos um cilindro de concreto (k=1,21 W/m·K, raio r=0,03624 m, comprimento L=0,1 m), que está a 292 K. De repente jogam vapor a 375 K na superfície, condensando com coeficiente de convecção h=8500 W/m²·K. A difusividade é α=5,97×10⁻⁷ m²/s. A ideia é achar quanto tempo leva para o centro do cilindro chegar a 345 K.
Conteúdo da matéria: condução transiente em cilindro, números adimensionais Biot e Fourier, e a solução em série (primeiro termo) para a temperatura no centro.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o número de Biot, que diz se dá pra usar “lumped” ou não:
Bi=h,rk=8500times0,036241,21approx254,
Como Bi≫0,1, não dá pra usar o método de capacitado lumped – a resistência interna ao calor não é desprezível.

Passo 3

Então partimos pra solução transiente unidimensional radial (cilindro “infinito” – ignorando ligeiramente as extremidades). No centro (r=0), a temperatura adimensional é:
$$\theta(t)=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}
= \frac{2}{\zeta_1 J_1(\zeta_1)};e{-\zeta_12,\Fo}, \zeta,J_1(\zeta)=Bi,J_0(\zeta),;$$
theta(t)=T(0,t)-TinftyTi-Tinfty = 2zeta1 J1(zeta1);e^-zeta1^2,Fo,, e Tinfty=375, são funções de Bessel de 0ª e 1ª ordem.

Passo 4

Queremos T(0,t)=345,K, então a razão adimensional no centro vira
thetarm alvo =345-375292-375 =-30-83approx0,3614,

Passo 5

Para Bi grandão (≈254), a primeira raiz fica muito próxima de onde J0(zeta1)=0, isto é zeta1approx2,405.
Aí a constante que acompanha o expoente é
A1=2zeta1,J1(zeta1),,
e sabemos que J1(2,405)approx0,5191, logo
A1=22,405times0,5191approx1,249,

Passo 6

Reescrevendo a equação no tempo:

Passo 7

Isolando :
Então o tempo é

Resposta

O tempo necessário é cerca de 565,8 s, ou seja, aproximadamente 9,44 min.

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