Uma bola de aço [c=460 J / kg cdot ^circ C, densidade =8000 kg / m^3, condutividade térmica =20 W / m K] de 10 cm de diâmetro e inicialmente à temperatura uniforme de 450^circ C é subitamente colocada num ambiente controlado onde a temperatura é mantida a 100^circ C. O coeficiente de transferência de calor por conveçăo é 10 W / m^2 ^circ C.
a) (4,0 pts) Calcule o tempo necessário para que a bola atinja a temperatura de 100,1^circ C.
b) (2,0 pts) Se em vez de uma bola fosse um cilindro com o mesmo diâmetro, qual deve ser o comprimento do cilindro para que o tempo seja o mesmo do item (a)?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma esfera de aço de diâmetro D=0,10;m, densidade rho=8000;kg/m^3, calor específico c=460;J/(kgcdot^circ C) e condutividade térmica k=20;W/(mcdot K). Inicialmente sua temperatura é 450^circ C e, ao ser imersa num ambiente a 100^circ C com coeficiente de convecção h=10;W/(m^2cdot^circ C), queremos (a) o tempo para atingir 100,1^circ C e (b) para um cilindro de mesmo diâmetro achar o comprimento que dê o mesmo tempo. O conteúdo é resfriamento transiente e vamos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance).

Passo 2

Primeiro verificamos o número de Biot para a esfera:
Bi = h,Lck,
onde Lc=V/A é o comprimento característico. Para a esfera Lc = R/3 com R=D/2=0,05;m. Assim,
Lc = 0,053=0,01667;m, Bi = 10times0,0166720=8,33times10^-3ll0,1
Como Bill0,1, vale o modelo de capacitância concentrada.

Passo 3

No modelo lumped, a temperatura da esfera varia segundo
T(t)-TinftyTi - Tinfty = exp!l(-h,Arho,V,c,tr),
onde Tinfty=100^circ C, Ti=450^circ C, A=4pi R^2, V=tfrac43pi R^3.

Passo 4

Detalhando:
A = 4pi(0,05)^2 = 0,031416;m^2, V = 43pi(0,05)^3 = 0,0005236;m^3,
rho,V = 8000times0,0005236 = 4,1888;kg, rho,V,c = 4,1888times460 = 1927,85;J/^circ C, h,A = 10times0,031416 = 0,31416;W/^circ C
Para atingir T=100,1^circ C temos
T-TinftyTi-Tinfty =0,1450-100=2,857times10^-4 =exp!l(-tfrachArho Vctr)
Logo
t = -rho VchA, ln!l(2,857times10^-4r)

Passo 5

Calculando o tempo:
tau = rho VchA = 1927,850,31416approx6136;s, ln(2,857times10^-4)approx -8,1605,
t = 6136times8,1605approx5,01times10^4;s approx13,9;h

Passo 6

Agora, para o cilindro de raio r=0,05;m e comprimento L, o tempo característico é
taurm cil = rho,V,ch,A = rho,(pi r^2 L),ch,[2pi r L + 2pi r^2] = rho,c,r,L2,h,(L+r)
Queremos taurm cil=taurm esf = tfracrho c R3h. Como r=R, igualamos:
R,L2(L+R) = R3 ;Longrightarrow; L2(L+R)=13 ;Longrightarrow; 3L = 2(L+R) ;Longrightarrow; L=2R

Passo 7

Portanto o comprimento do cilindro deve ser
L = 2R = 2times0,05 = 0,10;m

Resposta

a) tapprox5,0times10^4;s (aproximadamente 13,9 h).
b) L=0,10;m.

Exercícios relacionados