Uma bola de aço
, densidade
, condutividade térmica
de 10 cm de diâmetro e inicialmente à temperatura uniforme de
é subitamente colocada num ambiente controlado onde a temperatura é mantida a
. O coeficiente de transferência de calor por conveçăo é
.
a) (4,0 pts) Calcule o tempo necessário para que a bola atinja a temperatura de
.
b) (2,0 pts) Se em vez de uma bola fosse um cilindro com o mesmo diâmetro, qual deve ser o comprimento do cilindro para que o tempo seja o mesmo do item (a)?
a) (4,0 pts) Calcule o tempo necessário para que a bola atinja a temperatura de
b) (2,0 pts) Se em vez de uma bola fosse um cilindro com o mesmo diâmetro, qual deve ser o comprimento do cilindro para que o tempo seja o mesmo do item (a)?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma esfera de aço de diâmetro
, densidade
, calor específico
e condutividade térmica
. Inicialmente sua temperatura é
e, ao ser imersa num ambiente a
com coeficiente de convecção
, queremos (a) o tempo para atingir
e (b) para um cilindro de mesmo diâmetro achar o comprimento que dê o mesmo tempo. O conteúdo é resfriamento transiente e vamos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance).
Passo 2
Primeiro verificamos o número de Biot para a esfera:
onde
é o comprimento característico. Para a esfera
com
. Assim,
Como
, vale o modelo de capacitância concentrada.
Passo 3
No modelo lumped, a temperatura da esfera varia segundo
onde
,
,
,
.
Passo 4
Detalhando:
Para atingir
temos
Logo
Passo 5
Calculando o tempo:
Passo 6
Agora, para o cilindro de raio
e comprimento
, o tempo característico é
Queremos
. Como
, igualamos:
Passo 7
Portanto o comprimento do cilindro deve ser
Resposta
a)
(aproximadamente 13,9 h).
b) .
b)