Uma bola de aço de 0,514 kg está amarrada a um fio de 68,7 cm e é solta quando este está na horizontal (Fig. 32). No fim do arco de 90^circ descrito pela bola, ela atinge um bloco de aço de 2,63 kg que está em repouso numa superfície sem atrito; a colisão é elástica. Determine (a) a velocidade da bola e (b) a velocidade do bloco, imediatamente após o choque.

Passo 1

Então, vamos lá! Neste exercício, temos uma bola de aço de 0,514kg presa a um fio de 68,7cm. Quando soltamos a bola a partir da posição horizontal, ela descreve um arco de 90^circ e, no final desse movimento, bate num bloco de aço de 2,63kg que está parado em uma superfície sem atrito. A colisão entre a bola e o bloco é elástica. Nosso objetivo é descobrir(a) qual é a velocidade da bola nesse instante e(b) qual será a velocidade do bloco imediatamente após o choque.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia para encontrar a velocidade da bola antes da colisão e, em seguida, aplicar as leis das colisões elásticas para determinar as velocidades após o impacto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da bola de aço quando ela chega ao ponto mais baixo do seu trajeto, ou seja, antes de bater no bloco. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica.
Quando a bola está na posição horizontal, toda a energia que ela tem é energia potencial gravitacional. Ao descer, essa energia se converte em energia cinética. Como não há atrito nem outras perdas de energia, a energia mecânica se conserva.
A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • m é a massa,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81m/s^2),
  • h é a altura.
Precisamos primeiro encontrar a altura h que a bola desceu, que corresponde ao comprimento do fio vezes o seno do ângulo de 90^circ:
h = L cdot (1 - costheta)
Mas como theta = 90^circ, cos90^circ = 0, então:
h = L
Convertendo o comprimento do fio para metros:
L = 68,7cm = 0,687m
Portanto, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
m cdot g cdot h = 12 m v^2

Passo 3

Agora, vamos resolver para v, a velocidade da bola antes da colisão.
Simplificando a equação:
g cdot h = 12 v^2
v^2 = 2 cdot g cdot h
v = raiz2 cdot g cdot h
Substituindo os valores:
v = raiz2 cdot 9,81m/s^2 cdot 0,687m
v = raiz13,4854 approx 3,672m/s
Então, a velocidade da bola antes da colisão é aproximadamente 3,672m/s.

Passo 4

Agora, vamos para a colisão elástica. Em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas.
As fórmulas para as velocidades finais após a colisão são:
v1f = (m1 - m2)m1 + m2 cdot v1i
v2f = 2 m1m1 + m2 cdot v1i
onde:
  • v1f e v2f são as velocidades finais da bola e do bloco, respectivamente,
  • v1i é a velocidade inicial da bola,
  • m1 é a massa da bola,
  • m2 é a massa do bloco.

Passo 5

Vamos calcular a velocidade da bola após a colisão ( v1f) e a velocidade do bloco ( v2f).
Primeiro, substituindo os valores na fórmula para v1f:
v1f = 0,514kg - 2,63kg0,514kg + 2,63kg cdot 3,672m/s
v1f = -2,116kg3,144kg cdot 3,672m/s approx -2,474m/s
O sinal negativo indica que a bola muda de direção após a colisão.
Agora, para v2f:
v2f = 2 cdot 0,514kg0,514kg + 2,63kg cdot 3,672m/s
v2f = 1,028kg3,144kg cdot 3,672m/s approx 1,200m/s

Resposta

(a) A velocidade da bola imediatamente antes do choque é aproximadamente 3,672m/s.
(b) Após a colisão, a velocidade do bloco é aproximadamente 1,200m/s.

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