Uma bola de aço de
está amarrada a um fio de
e é solta quando este está na horizontal (Fig. 32). No fim do arco de
descrito pela bola, ela atinge um bloco de aço de
que está em repouso numa superfície sem atrito; a colisão é elástica. Determine (a) a velocidade da bola e (b) a velocidade do bloco, imediatamente após o choque.
Passo 1
Então, vamos lá! Neste exercício, temos uma bola de aço de
presa a um fio de
. Quando soltamos a bola a partir da posição horizontal, ela descreve um arco de
e, no final desse movimento, bate num bloco de aço de
que está parado em uma superfície sem atrito. A colisão entre a bola e o bloco é elástica. Nosso objetivo é descobrir(a) qual é a velocidade da bola nesse instante e(b) qual será a velocidade do bloco imediatamente após o choque.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia para encontrar a velocidade da bola antes da colisão e, em seguida, aplicar as leis das colisões elásticas para determinar as velocidades após o impacto.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da bola de aço quando ela chega ao ponto mais baixo do seu trajeto, ou seja, antes de bater no bloco. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica.
Quando a bola está na posição horizontal, toda a energia que ela tem é energia potencial gravitacional. Ao descer, essa energia se converte em energia cinética. Como não há atrito nem outras perdas de energia, a energia mecânica se conserva.
A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Precisamos primeiro encontrar a altura
que a bola desceu, que corresponde ao comprimento do fio vezes o seno do ângulo de
:
Mas como
,
, então:
Convertendo o comprimento do fio para metros:
Portanto, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
, a velocidade da bola antes da colisão.
Simplificando a equação:
Substituindo os valores:
Então, a velocidade da bola antes da colisão é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos para a colisão elástica. Em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética são conservadas.
As fórmulas para as velocidades finais após a colisão são:
onde:
-
e são as velocidades finais da bola e do bloco, respectivamente, -
é a velocidade inicial da bola, -
é a massa da bola, -
é a massa do bloco.
Passo 5
Vamos calcular a velocidade da bola após a colisão (
) e a velocidade do bloco (
).
Primeiro, substituindo os valores na fórmula para
:
O sinal negativo indica que a bola muda de direção após a colisão.
Agora, para
:
Resposta
(a) A velocidade da bola imediatamente antes do choque é aproximadamente
.
(b) Após a colisão, a velocidade do bloco é aproximadamente
.