Uma esfera sólida de raio R, rola sem deslizar em através de um plano cilíndrico de raio
. Mostre que para pequenas oscilações a esfera executa um movimento harmônico simples com período dado por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida de raio $ R $ que está rolando sem deslizar por um plano cilíndrico com raio $ 5R $. A pergunta quer que mostremos que, para oscilações pequenas, a esfera realiza um movimento harmônico simples (MHS) com um período específico $ T = 2\pi \sqrt{\frac{28 R}{5 g}} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e energia em movimentos periódicos.
Passo 2
Vamos começar identificando o equilíbrio da esfera no plano cilíndrico. Quando a esfera está em repouso na posição de equilíbrio, a força gravitacional está balanceada pela força normal do plano. Para pequenas oscilações, a esfera vai se desviar um pouquinho dessa posição de equilíbrio, e queremos analisar esse movimento.
Passo 3
Como a esfera está rolando sem deslizar, precisamos considerar tanto a sua energia translacional (de movimento linear) quanto a energia rotacional (de giro). A energia cinética total $ K $ da esfera é a soma dessas duas:
Onde:
- $ m $ é a massa da esfera,
- $ v $ é a velocidade linear do centro de massa,
- $ I $ é o momento de inércia da esfera,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Passo 4
Sabemos que para uma esfera sólida, o momento de inércia $ I $ é dado por:
Além disso, como a esfera está rolando sem deslizar, temos a relação entre velocidade linear e angular:
Passo 5
Substituindo $ \omega $ por $ \frac{v}{R} $ na expressão da energia cinética total:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos considerar a energia potencial $ U $ da esfera. Quando a esfera se desloca para uma pequena angulação $ \theta $ a partir do equilíbrio, a altura elevada é aproximadamente $ h = R \theta^2 / 2 $ (usando a aproximação para pequenas oscilações). Assim, a energia potencial é:
Passo 7
Para movimentos harmônicos simples, a energia total $ E $ do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Sabendo que $ v = R \frac{d\theta}{dt} $, podemos reescrever a energia cinética em termos de $ \theta $:
Passo 8
A equação de movimento para um sistema de MHS é da forma:
Comparando com nossa energia potencial, identificamos a constante elástica efetiva e a massa efetiva do sistema. A frequência angular $ \omega $ está relacionada ao período $ T $ por $ \omega = \frac{2\pi}{T} $.
Passo 9
A constante elástica efetiva $ k_{ef} $ e a massa efetiva $ m_{ef} $ podem ser determinadas a partir das expressões de $ U $ e $ K $. Combinando tudo, chegamos à expressão para o período $ T $:
Resposta
Portanto, demonstramos que para pequenas oscilações, a esfera executa um movimento harmônico simples com período $ T = 2\pi \sqrt{\frac{28 R}{5 g}} $.