Dois capacitores ( C1 e C2 ), quando conectados em paralelo, têm capacitância de Cp e fornecem uma capacidade equivalente de Cs quando conectado em série. Qual a capacitância de cada capacitor? Mostre que a capacitância de cada capacitor é dado por:
C1=12 Cp+raiz14 Cp^2-Cp Cs e C2=12 Cp-raiz14 Cp^2-Cp Cs

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois capacitores, chamados C1 e C2. Quando a gente conecta esses dois em paralelo, a capacitância total é Cp. Já quando conecta eles em série, a capacitância total vira Cs. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto vale cada um desses capacitores, C1 e C2, usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender como capacitores se comportam em paralelo e em série e usar algumas equações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a conexão de capacitores em paralelo. Quando dois capacitores estão em paralelo, a capacitância total é simplesmente a soma das capacitâncias individuais. Ou seja:
Cp = C1 + C2
Isso acontece porque, em paralelo, a área de placas efetiva aumenta, permitindo que mais carga seja armazenada para uma mesma voltagem.

Passo 3

Agora, vamos ver a conexão em série. Quando os capacitores estão em série, a capacitância total diminui. A fórmula para a capacitância equivalente em série é dada por:
1Cs = 1C1 + 1C2
Essa relação acontece porque, em série, a carga é a mesma em todos os capacitores, mas a voltagem total se divide entre eles.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar expressões para C1 e C2 em termos de Cp e Cs. Vamos começar resolvendo o sistema de equações que temos.
Primeiro, da equação do paralelo:
C1 + C2 = Cp
Podemos isolar uma das capacitâncias, por exemplo:
C2 = Cp - C1

Passo 5

Agora, vamos substituir essa expressão de C2 na equação da série:
1Cs = 1C1 + 1Cp - C1
Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum e simplificar:
1Cs = Cp - C1 + C1C1 (Cp - C1) = CpC1 (Cp - C1)

Passo 6

Multiplicando os dois lados por C1 (Cp - C1) para eliminar os denominadores, temos:
C1 (Cp - C1) = Cp Cs
Expandindo o lado esquerdo:
Cp C1 - C1^2 = Cp Cs

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
C1^2 - Cp C1 + Cp Cs = 0
Essa é uma equação do tipo ax^2 + bx + c = 0, onde:
  • a = 1
  • b = -Cp
  • c = Cp Cs

Passo 8

Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
C1 = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores de a, b e c:
C1 = Cp pm raizCp^2 - 4 times 1 times Cp Cs2
Simplificando dentro da raiz:
C1 = Cp pm raizCp^2 - 4 Cp Cs2

Passo 9

Podemos fatorar 12 dentro da expressão:
C1 = 12 Cp pm 12 raizCp^2 - 4 Cp Cs
E, para simplificar ainda mais, extraímos 14 de dentro da raiz:
C1 = 12 Cp pm raiz14 Cp^2 - Cp Cs

Passo 10

Como fizemos a substituição para C2 anteriormente, podemos aplicar a mesma lógica para encontrar C2:
C2 = Cp - C1 = 12 Cp mp raiz14 Cp^2 - Cp Cs
Aqui, o sinal muda para manter as relações corretas entre C1 e C2.

Resposta

As capacitâncias dos capacitores são dadas por:
C1 = 12 Cp + raiz14 Cp^2 - Cp Cs e C2 = 12 Cp - raiz14 Cp^2 - Cp Cs

Exercícios relacionados