Dois capacitores (
e
), quando conectados em paralelo, têm capacitância de
fornecem uma capacidade equivalente de
quando conectado em série. Qual a capacitância de cada capacitor? Mostre que a capacitância de cada capacitor é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois capacitores, chamados
e
. Quando a gente conecta esses dois em paralelo, a capacitância total é
. Já quando conecta eles em série, a capacitância total vira
. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto vale cada um desses capacitores,
e
, usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender como capacitores se comportam em paralelo e em série e usar algumas equações matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a conexão de capacitores em paralelo. Quando dois capacitores estão em paralelo, a capacitância total é simplesmente a soma das capacitâncias individuais. Ou seja:
Isso acontece porque, em paralelo, a área de placas efetiva aumenta, permitindo que mais carga seja armazenada para uma mesma voltagem.
Passo 3
Agora, vamos ver a conexão em série. Quando os capacitores estão em série, a capacitância total diminui. A fórmula para a capacitância equivalente em série é dada por:
Essa relação acontece porque, em série, a carga é a mesma em todos os capacitores, mas a voltagem total se divide entre eles.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar expressões para
e
em termos de
e
. Vamos começar resolvendo o sistema de equações que temos.
Primeiro, da equação do paralelo:
Podemos isolar uma das capacitâncias, por exemplo:
Passo 5
Agora, vamos substituir essa expressão de
na equação da série:
Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum e simplificar:
Passo 6
Multiplicando os dois lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
Essa é uma equação do tipo
, onde:
Passo 8
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores de
,
e
:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 9
Podemos fatorar
dentro da expressão:
E, para simplificar ainda mais, extraímos
de dentro da raiz:
Passo 10
Como fizemos a substituição para
anteriormente, podemos aplicar a mesma lógica para encontrar
:
Aqui, o sinal muda para manter as relações corretas entre
e
.
Resposta
As capacitâncias dos capacitores são dadas por: